函数对称性、周期性和奇偶性规律
一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)
1、 周期性：对于函数
y?f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有
f(x?T)?f(x)都成立，那么就把函数y?f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周
期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义（略），请用图形来理解。 3、 对称性：
我们知道：偶函数关于y（即x=0）轴对称，偶函数有关系式
奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式
上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数
f(?x)?f(x)
f(x)?f(?x)?0
y?f(x)关于x?a对称?f(a?x)?f(a?x)
f(a?x)?f(a?x)也可以写成f(x)?f(2a?x) 或 f(?x)?f(2a?x)
简证：设点(x1,y1)在
y?f(x)上，通过f(x)?f(2a?x)可知，y1?f(x1)?f(2a?x1)，即点
(2a?x1,y1)也在y?f(x)上，而点(x1,y1)与点(2a?x1,y1)关于x=a对称。得证。
若写成：
f(a?x)?f(b?x)，函数y?f(x)关于直线x?(a?x)?(b?x)a?b? 对称
22（2）函数
y?f(x)关于点(a,b)对称?f(a?x)?f(a?x)?2b
上述关系也可以写成f(2a?x)?f(?x)?2b 或 f(2a?x)?f(x)?2b
简证：设点(x1,y1)在
y?f(x)上，即y1?f(x1)，通过f(2a?x)?f(x)?2b可知，
f(2a?x1)?f(x1)?2b，所以f(2a?x1)?2b?f(x1)?2b?y1，所以点
(2a?x1,2b?y1)也在y?f(x)上，而点(2a?x1,2b?y1)与(x1,y1)关于(a,b)对称。得
证。
若写成：
（3）函数
f(a?x)?f(b?x)?c，函数y?f(x)关于点(a?bc,) 对称 22y?f(x)关于点y?b对称:假设函数关于y?b对称，即关于任一个x值，都有两个y值与其对应，
显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于关于
y?b对称。但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现
y?b对称，比如圆c(x,y)?x2?y2?4?0它会关于y=0对称。
4、 周期性： （1）函数
y?f(x)满足如下关系系，则f(x)的周期为2T
A、
f(x?T)??f(x) B、f(x?T)?11 或f(x?T)??f(x)f(x)C、
T1?f(x)T1?f(x)或f(x?)?（等式右边加负号亦成立） f(x?)?21?f(x)21?f(x)y?f(x)满足f(a?x)?f(a?x)且f(b?x)?f(b?x)，则可推出
f(x)?f(2a?x)?f[b?(2a?x?b)]?f[b?(2a?x?b)]?f[x?2(b?a)]即可
以得到
即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x轴两条直线对称，y?f(x)的周期为2(b-a)，
D、其他情形 （2）函数
则函数一定是周期函数”
（3）如果奇函数满足
根据
如果偶函数满足
f(x?T)??f(x)则可以推出其周期是2T，且可以推出对称轴为x?T?2kT(k?z)，2f(x)?f(x?2T)可以找出其对称中心为(kT，0)(k?z)（以上T?0）
T?2kT,0)(k?z)，根2f(x?T)??f(x)则亦可以推出周期是2T，且可以推出对称中心为(据
（4）如果奇函数
f(x)?f(x?2T)可以推出对称轴为x?T?2kT(k?z) （以上T?0）
y?f(x)满足f(T?x)?f(T?x)（T?0）y?f(x)是以4T为周期的周期性函
，则函数
数。如果偶函数
y?f(x)满足f(T?x)?f(T?x)（T?0），则函数y?f(x)是以2T为周
期的周期性函数。
定理3：若函数
f?x?在R上满足f(a?x)?f?a?x?，且f(b?x)?f?b?x?（其中
a?b），则函数y?f?x?以2?a?b?为周期.
，则函f?x?在R上满足f(a?x)??f?a?x?，且f(b?x)??f?b?x?（其中a?b）
定理4：若函数数
y?f?x?以2?a?b?为周期.
，f?x?在R上满足f(a?x)?f?a?x?，且f(b?x)??f?b?x?（其中a?b）
定理5：若函数则函数
y?f?x?以4?a?b?为周期.
y?f(x)与y??f(x)关于X轴对称。
换种说法：
二、 两个函数的图象对称性
1、
y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)??g(x)，即它们关于y?0对称。
2、
y?f(x)与y?f(?x)关于Y轴对称。
换种说法：
y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)?g(?x)，即它们关于x?0对称。
3、
y?f(x)与y?f(2a?x)关于直线x?a对称。
换种说法：
y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)?g(2a?x)，即它们关于x?a对称。
4、
y?f(x)与y?2a?f(x)关于直线y?a对称。
换种说法：
y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)?g(x)?2a，即它们关于y?a对称。
5、
y?f(x)与y?2b?f(2a?x)关于点(a,b)对称。
换种说法：
y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)?g(2a?x)?2b，即它们关于点(a,b)对称。
a?b对称。 26、
y?f(a?x)与y?(x?b)关于直线x?7、 函数的轴对称：
定理1：如果函数称.
y?f?x?满足f?a?x??f?b?x?，则函数y?f?x?的图象关于直线x?a?b对
2推论1：如果函数
y?f?x?满足f?a?x??f?a?x?，则函数y?f?x?的图象关于直线x?a对称. y?f?x?满足f?x??f??x?，则函数y?f?x?的图象关于直线x?0（y轴）对称.
推论2：如果函数
特别地，推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化.
8、 函数的点对称：
定理2：如果函数
则函数y?f?x?的图象关于点?a,b?对称. y?f?x?满足f?a?x??f?a?x??2b，
推论3：如果函数
y?f?x?满足f?a?x??f?a?x??0，则函数y?f?x?的图象关于点?a,0?对称.
推论4：如果函数
y?f?x?满足f?x??f??x??0，则函数y?f?x?的图象关于原点?0,0?对称.特别地，
推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.
三、总规律：定义在Ｒ上的函数一定存在。
y?f?x?，在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条
抽象函数的对称性与周期性
一、抽象函数的对称性。
性质1、若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三式成立且等价： （1）f(a＋x)＝f(a－x)。 （2）f(2a－x)＝f(x)。 （3）f(2a＋x)＝f(－x)。