对B?A，C?A，A ?D应用容斥原理，得
x1=4。
同理可求出：x2=3，x3=3，x4=2。
1.3.2习题1.2解答
1.设A，B是两个集合，问在什么条件下有A?B?A成立？等号能成立吗？ 解：当A或B为空集时能够成立；当A为空集时等号能够成立。
2.设A是m元集合，B是n元集合。问A到B共有多少个不同的二元关系？设A={a，b}，B={1， 2}，试写出A到B上的全部二元关系。
解：A到B上共有2mn个二元关系。本题中A?B的全部子集?，{(a,1)}，{(a,2)}，{(b,1)}，{(b,2)}， {(a,1),(a,2)}，{(a,1),(b,1)}，{(a,1),(b,2)}，{(a,1),(b,2)}，{(a,2),(b,1)}，{(a,2),(b,2)}，{(a,1),(a,2),(b,1)}，{(a,1),(a,2),(b,2)}，{(a,1),(b,1),(b,2)}，{(a,2),(b,1),(b,2)}，{(a,1),(a,2),(b,1),(b,2)}为A到B的全部二元关系。
3.R，S是集合A上的两个关系。试证明下列等式：
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（1）(R?S)= S?R
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（2）(R)= R
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（3）(R∪S)= R∪S
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（4）(R∩S)= R∩S 证明：
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（1）先证(R?S)? S?R，对任意(x，y) ?(R?S)，则(y，x) ?(R?S)，则存在a?A，满
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足(y，a) ?R且(a，x) ?S，那么(x，a) ?S且(a，y) ?R，所以(x，y) ? S?R，因此(R?S)? -1-1-1-1-1-1-1-1
S?R；再证S?R ?(R?S)，对任意(x，y) ? S?R，则存在a?A，满足(x，a) ?S且(a，
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y) ?R，所以(y，a) ?R且(a，x) ?S，所以(y，x) ?(R?S)，所以(x，y) ?(R?S)，因此S?R
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?(R?S)。
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（2）先证(R)? R，对任意(x，y) ?(R)，则(y，x) ? R，则(x，y) ? R，所以(R)?
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R；再证R ?(R)，对任意(x，y) ? R，则(y，x) ? R，则(x，y) ?(R)，所以R ?(R)。
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故(R)= R得证。
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（3）先证(R∪S)? R∪S，对任意(x，y) ?(R∪S)，则(y，x) ? R∪S，则(y，x) ? R
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或(y，x) ?S，则(x，y) ?R或者(x，y) ?S，所以(x，y) ? R∪S，所以(R∪S)? R∪S；
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再证R∪S ?(R∪S)，对任意(x，y) ? R∪S，则(x，y) ?R或者(x，y) ?S，则(y，x) ?
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R或(y，x) ?S，所以(y，x) ? R∪S，所以(x，y) ?(R∪S)，所以R∪S ?(R∪S)。故(R
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∪S)= R∪S得证。
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（4）先证(R∩S)? R∩S，对任意(x，y) ?(R∩S)，则(y，x) ? R∩S，则(y，x) ? R
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且(y，x) ?S，则(x，y) ?R且(x，y) ?S，所以(x，y) ? R∩S，所以(R∩S)? R∩S；
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再证R∩S?(R∩S)