x?A∩B，即x?A并且x?B，所以有y??(A)且y??(B)，即y?? (A)∩? (B)，故?( A∩B) ? ? (A)∩? (B)。
例：设M={1，2，3，4}，A={1，2，3}，B={2，3，4} ?：1?a 2?b 3?c 4?a
则?( A∩B)= ?( {2，3})={b，c}
? (A)∩? (B)= {a，b，c}∩{a，b，c}={a，b，c}
4.设?是集合M到集合N内的映射，A是N的子集，M中所有在?下映射到A中的元
-1-1-1
素集合称为A的逆象集，记为? (A)，若A，B是N的任意子集，求证：? ( A∩B) = ? (A)
-1
∩? (B)。
-1-1-1
证明：先证? ( A∩B) ? ? (A)∩? (B)。
-1-1
对任意x?? ( A∩B)，则?(x)?A∩B，所以?(x)?A且 ?(x)?B，那么 x?? (A)且
-1-1-1-1-1-1
x?? (B)，即x?? (A)∩? (B)，故? ( A∩B) ? ? (A)∩? (B)。
-1-1-1
再证? (A)∩? (B) ?? ( A∩B)。
-1-1-1-1
对任意x?? (A)∩? (B)，则x?? (A)且x?? (B)，所以?(x) ? A且?(x)? B，即?(x)
-1-1-1-1
? A∩B，所以x?? (A∩B)，故? (A)∩? (B) ?? ( A∩B)。
-1-1-1
因此，? ( A∩B) = ? (A)∩? (B)。
5.证明：若A1， A2， …，An是可数集合，则A1? A2? … ?An是可数集合。
证明：采用归纳法，当k=2时，由定理 1.3.5知A1? A2={(a1i, a2j)?a1i?A1, a2j?A2}是可数集合。
假设k=n-1时，A1? A2? … ?An-1={(a1i, a2j, …, a(n-1)k)?a1i?A1, a2j?A2,…, a(n-1)k ?An-1}是可数集合。则当k=n时，
A1? A2? … ?An={(a1i, a2j, …, a(n-1)k, ans)?a1i?A1, a2j?A2,…, a(n-1)k ?An-1,ans?An}。此集合相当于把A1? A2? … ?An-1中每个元素的小括号内符号序列作为一个元素与An中每一个元素构成的有序对为元素作成的集合。由假设知A1? A2? … ?An-1可数，An也是可数集合，故由归纳假设知这两个集合的直乘积构成的集合A1? A2? … ?An可数。归纳法完成。
6.证明：任意含有不可数子集的集合必是不可数集。
证明：假设含有不可数子集A1的集合A可数，则由定理1.3.2知A1可数，矛盾，故假设不成立。
7.证明：任何不可数集合均含有一可数无穷子集。
证明：设A为任一不可数集合，显然A??，可设a0?A。考虑A1=A-{ a0}，A1仍不可数。又有a1?A1。再考虑A2=A1-{ a1}，A2仍为不可数集合。同样有a2?A2，…，如此类推。令B={a0, a1, a2,…}，显然B?A，且对任一自然数n总有an?B，故B为一可数无穷子集。
8.证明：直线上互不相交的开区间为元素作成的集合是可数集。 证明：设互不相交的开区间可分别表示为
(a1, b1)，(a2, b2)，…，(an, bn)，…
于是，每个(ai, bi)中至少有一个有理数qi，从而上述所有开区间的集合与有理数集合的一个
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子集存在1-1映射。由于有理数集是可数集合，所以由直线上互不相交的开区间为元素作成的集合是可数集。
9.所有系数为整数的多项式集合是否为可数集合？为什么？ 答：所有系数为整数的多项式集合是可数集合。
证明：对于任意给定的非负整数n，设所有n次整系数多项式的集合记为An，我们证明An是可数集合。注意An与n个整数集合的直乘积I?…?I存在1-1映射，故由习题5知，是可数集合。所以所有系数为整数的多项式集合可表示为
?A，由定理1.3.4知这些多项
i?0i?式构成的集合可数。
10.有理多项式的根称为代数数。证明所有有理系数多项式的集合是可数集合；其所有根的集合是可数集合。即所有代数数构成的集合是可数集合。
证明：仿上题证明可得所有有理系数多项式的集合是可数集合。设所有n次有理系数多项式的集合记为An，则An是可数集合。令f(x)∈An，则f(x)根的个数≤n，于是，所有n次有理系数多项式根的集合Bn是可数集合。从而所有代数数构成的集合
11.非代数数的实数称为超越数，证明超越数集合是不可数集合。
证明：实数集合是由代数数和非代数数构成的，因为代数数构成的集合为可数集合，若超越数集合也是可数集合，则由定理1.3.4知由它们构成的实数集合是可数集合，这与实数是不可数集合矛盾，即假设不成立，从而超越数集合不可数。
12.自然数的所有序列作成的集合是否为可数集合？为什么？ 答：不是可数集合。
证明：设I表示整数集合，则整数的所有序列作成的集合为I?…?I?…，且自然数的所有序列作成的集合与集合I?…?I?…等浓。所以我们只需证明I?…?I?…是不可数集合。设B={0，1，2，…，9}，则B?…?B?…是I?…?I?…的子集。采用类似定理1.3.6的证明方法，可证明B?…?B?…是不可数集合，因此自然数的所有序列作成的集合不是可数集合。
?B是可数集合。
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