(二)数列专练
1．等比数列{a2
n}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a3＝9a2a6. (1)求数列{an}的通项公式；
(2)设ba?1?
n＝log31＋log3a2＋…＋log3an，求数列??b??
的前n项和．
n
2．在等差数列{an}中，a2＋a7＝－23，a3＋a8＝－29. (1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{an＋bn}是首项为1，公比为q的等比数列，求{bn}的前n项和Sn.
3．已知递增的等比数列{an}的前n项和为Sn，a6＝64，且a4，a5的等差中项为3a3. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bnn＝a，求数列{bn}的前n项和Tn.
2n－1
4．设数列{a2
4
2nn}的各项均为正数，且a1，2，a2，2，…，an，2，…成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式；
(2)记Sn为数列{an}的前n项和，若Skk≥30(2＋1)，求正整数k的最小值． 1
答 案
12222
1．解：(1)设数列{an}的公比为q.由a3＝9a2a6得a3＝9a4，所以q＝.由条件可知q＞0，
91故q＝. 3
1
由2a1＋3a2＝1，得2a1＋3a1q＝1，得a1＝.
31
故数列{an}的通项公式为an＝n. 3(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝ －(1＋2＋…＋n)＝－1
故＝－n（n＋1）
2
.
bn1?2?1
＝－2?－?.
n（n＋1）?nn＋1?
11112n?1?11
＋＋…＋＝－2[?1－?＋(－)＋…＋(－)]＝－. b1b2bnnn＋1n＋1?2?231
?1?2n所以数列??}的前n项和为－.
n＋1?bn?
2．解：(1)设等差数列{an}的公差是d. ∵a3＋a8－(a2＋a7)＝2d＝－6， ∴d＝－3，
∴a2＋a7＝2a1＋7d＝－23，解得a1＝－1， ∴数列{an}的通项公式为an＝－3n＋2.
(2)∵数列{an＋bn}是首项为1，公比为q的等比数列， ∴an＋bn＝qn－1
，即－3n＋2＋bn＝qn－1
n－1
，
∴bn＝3n－2＋q.
2
∴Sn＝[1＋4＋7＋…＋(3n－2)]＋(1＋q＋q＋…＋q＋qn－1
n－1
)＝
n（3n－1）
2
＋(1＋q＋q＋…
2
)，
故当q＝1时，Sn＝
n（3n－1）
23n＋n＋n＝；
2
2
n（3n－1）1－qn当q≠1时，Sn＝＋.
21－q3．解：(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0)，
??a1q＝64，
由题意，得?3 42
?a1q＋a1q＝6a1q，?
5
2
??a1＝2，解得 ?
?q＝2或q＝－3（舍），?
所以an＝2. (2)因为bn＝
nna2n－12
＝n2n－1，
1234n所以Tn＝＋3＋5＋7＋…＋2n－1，
222221123n－1nTn＝3＋5＋7＋…＋2n－1＋2n＋1， 422222311111n所以Tn＝＋3＋5＋7＋…＋2n－1－2n＋1
422222211?
1－n???2?4?n24＋3n＝－2n＋1＝－2n＋1，
1233×21－484＋3n故Tn＝－2n－1. 99×2
222
4．解：(1)设等比数列的公比为q，则q＝2＝2，又由题意q>0，故q＝2，从而an＝
22
2
4
2n＝2
2n－1
，即数列{an}的通项公式为an＝2
2n－1
.
2
2[1－（2）]22n(2)由(1)知a1＝2，数列{an}是以2为公比的等比数列，故Sn＝＝(2－2
1－23
2
n1)．
22kkk因此不等式Sk≥30(2＋1)可化为(2－1)≥30(2＋1)，
32kkk即(2－1)(2＋1)≥30(2＋1)， 3
因为2＋1>0，所以2≥46，即k≥log246. 又5 kk 3