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Jordan标准型与矩阵可对角化
作者：徐朱城 指导老师：宛金龙
摘要 本文以?-矩阵的性质为基础,对角化问题为主线，推导出线性代数中最深刻
的结论——Jordan标准型定理.然后,应用Jordan标准型定理去解决Hamilton-Cayley定理的证明,矩阵分解,线性微分方程组求解的问题.
关键词 矩阵对角化 ?-矩阵 Smith标准型 Jordan标准型 Hamilton-Cayley定理
1 引言
n阶矩阵A与对角阵相似的充要条件是A有n个线性无关的特征向量.
那么当只有m(m?n)个线性无关的特征向量时,A与对角阵是不相似的.对这种情况,我们“退而求其次”,寻找“几乎对角的”矩阵来与A相似.这就引出了矩阵在相似下的各种标准型问题.
Jordan标准型是最接近对角的矩阵并且其有关的理论包含先前有关与对角阵相似的理论作为特例.此外, Jordan标准型的广泛应用涉及到Hamilton-Cayley定理的证明,矩阵分解,线性微分方程组的求解等等.
2 ?-矩阵
由于Jordan标准型的求解与特征多项式有关,而从函数的角度看,特征多项式实际上是特殊的函数矩阵（元素是函数的矩阵）,这就引出对?-矩阵的研究.
2.1 ?-矩阵及其标准型
定义1 称矩阵A(?)?(fij(?))为?-矩阵,其中元素
fij(?)(i?1,2,L,m;j?1,2,L,n)
为数域F上关于?的多项式.
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定义2 称n阶?-矩阵A(?)是可逆的,如果有
A???B????B???A????In
并称B(?)为A(?)的逆矩阵.反之亦然.
定理 1[1] 矩阵A(?)可逆的充要条件是其行列式为非零的常数,即
det(A(?))?c?0.
证明：（1）充分性 设A???=d是一个非零的数.A*???表示A(?)的伴随矩阵,则d?1A*???也是一个?-矩阵,且有
A???d?1A*????d?1A*???A????I
因此, A(?)是可逆的.
(2)必要性 设A(?)有可逆矩阵B(?),则
A???B????I
两边取行列式有
A???B????I?1
由于A???与B???都是多项式,而它们的乘积为1,所以它们都是零次多项式,即都是非零常数.证毕.
例题1 判断?-矩阵
??2+12??1???A???=???1???1???是否可逆.
解 虽然
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?2+12??1A???=??1?=??2???01
A(?)是满秩的,但A???不是非零常数,因而A(?)是不可逆的.
注意 与数字矩阵不同的是满秩矩阵未必是可逆的.这么定义可逆是有
必要的,可逆的本质就是要保证变换的矩阵可以通过非零常数的倒数逆回去.
定义3 如果矩阵A(?)经过有限次的初等变换化成矩阵B(?)，则称矩阵A(?)与B(?)等价,记为
A????B???
定理2 矩阵A(?)与B(?)等价的充要与条件是存在可逆矩阵
P???、Q???,使得
B????P???A???Q???
证明 因为A????B???,所以A(?)可以经过有限次初等变换变成
B(?),即存在初等矩阵
P1(?),P2(?),L,Ps(?)
与初等矩阵
Q1(?),Q2(?),L,Qt(?)
使得
B(?)?P1(?)P2(?)LPs(?)A(?)Q1(?)Q2(?)LQt(?)
令
P(?)?P1(?)P2(?)LPs(?), Q(?)?Q1(?)Q2(?)LQt(?)
就是所要求的?-矩阵.它们都是初等矩阵的乘积,从而使可逆的.证毕.
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