学业分层测评（十一）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．设a≥b>0，P＝a3＋b3，Q＝a2b＋ab2，则P与Q的大小关系是( ) A．P>Q B．P≥Q C．P0，∴a2≥b2>0. 因此a3＋b3≥a2b＋ab2(排序不等式)， 则P≥Q. 【答案】 B
2．设a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn为两组实数，在排序不等式中，顺序和，反序和，乱序和的大小关系为( )
A．反序和≥乱序和≥顺序和 B．反序和＝乱序和＝顺序和 C．反序和≤乱序和≤顺序和
D．反序和、乱序和、顺序和大小关系不确定 【答案】 C
3．设正实数a1，a2，a3的任一排列为a′1，a′2，a′3，则( )
A．3 C．9
B．6 D.12
a1a2a3
＋＋的最小值为a′1a′2a′3
111
【解析】 设a1≥a2≥a3＞0，则a≥a≥a＞0，由乱序和不小于反序和知，
321a1a2a3a1a2a3＋＋≥＋＋＝3， a′1a′2a′3a1a2a3
a1a2a3∴＋＋的最小值为3，故选A. a′1a′2a′3【答案】 A
22
4．若A＝x1＋x2＋…＋x2B＝x1x2＋x2x3＋…＋xn－1xn＋xnx1，其中x1，x2，…，xn都是正数，n，
则A与B的大小关系为( )
A．A＞B
B．A＜B
C．A≥B D.A≤B
【解析】 依序列{xn}的各项都是正数，不妨设0＜x1≤x2≤…≤xn，则x2，x3，…，xn，x1为序列{xn}的一个排列．依排序原理，得x1x1＋x2x2＋…＋xnxn≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1，即x21＋
2x2＋…＋x2n≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1.故选C.
【答案】 C
5．已知a，b，c为正实数，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是( ) A．大于零 B．大于等于零 C．小于零
D.小于等于零
【解析】 设a≥b≥c>0，所以a3≥b3≥c3，
根据排序原理，得a3×a＋b3×b＋c3×c≥a3b＋b3c＋c3a.
又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab， ∴a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab， 即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0. 【答案】 B 二、填空题
bccaab
6．若a，b，c∈R＋，则a＋b＋c________a＋b＋c. 111
【解析】 不妨设a≥b≥c＞0，则bc≤ca≤ab，a≤b≤c， bccaabacabbc
∴a＋b＋c≥c＋a＋b＝a＋b＋c. 【答案】 ≥
7．有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5 s,4 s,3 s,7 s，每个人接完水后就离开，则他们总的等候时间最短为________s.
【解析】 等候的最短时间为：3×4＋4×3＋5×2＋7×1＝41(s)． 【答案】 41
a1a2a2a3a3a18．设a1，a2，a3为正数，且a1＋a2＋a3＝1，则a＋a＋a的最小值为________.
312
【导学号：32750058】
111
【解析】 不妨设a3>a1>a2>0，则a 3 1 2 所以a1a2 a1a3a1a2a3a2设乱序和S＝a＋a＋a＝a1＋a2＋a3＝1， 312 a1a2a2a3a3a1 顺序和S′＝a＋a＋a. 312 a1a2a2a3a3a1由排序不等式得a＋a＋a≥a1＋a2＋a3＝1， 312a1a2a2a3a3a1所以a＋a＋a的最小值为1. 312【答案】 1 三、解答题 9．设a，b，c大于0，求证： (1)a3＋b3≥ab(a＋b)； (2) 1111 ＋33＋3≤abc. 33a＋b＋abcb＋c＋abcc＋a＋abc 3【证明】 (1)不妨设a≥b≥c>0， 则a2≥b2≥c2>0， ∴a3＋b3＝a2·a＋b2·b≥a2b＋b2a， ∴a3＋b3≥ab(a＋b)． (2)由(1)知，同理b3＋c3≥bc(b＋c)，c3＋a3≥ac(c＋a)， 111所以3＋33＋3 3a＋b＋abcb＋c＋abcc＋a3＋abc≤ 11 ＋ ab?a＋b?＋abcbc?b＋c?＋abc 1 ＋ ac?a＋c?＋abc＝＝ 1?111??＋＋? a＋b＋c?abbcca?c＋a＋b11 ·abc＝abc. a＋b＋c 故原不等式得证． 10．已知a，b，c都是正数，求 abc＋＋的最小值． b＋cc＋aa＋b 11≤a＋ba＋c 【解】 由对称性，不妨设0＜c≤b≤a，则有a＋b≥a＋c≥b＋c＞0，所以0＜≤1. b＋c 由排序不等式得