初中数学论文：一个新三角形面积公式的拓展与应用
一个新三角形面积公式S?ah的拓展与应用
12
2009年的中考数学题中，出现了一类新的题型，它以抛物线为试题背景，采用点在抛物线上运动为方式，求坐标系下斜三角形面积的最大值。这类试题所涉及的知识面广，综合强，能力要求高，并且与高中的数学知识密切相关。这样的试题突出考查了初中数学的核心内容和学生数学阅读理解能力、综合运用已学知识解决问题的能力。能有效地考查出学生扎实的基础和良好的数学学习能力。现以2009年的中考题举例说明如下：
引例：（2009年益阳市中考题改编） 阅读材料： 如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△
ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部
线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S?ABC?1ah2，即三角形
面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
证明：SABC?SABD?SACD11??AD?h1??AD?h222
111 ?1?AD?(h?h)??AD?a?ah（其中h、22212h2是直线AD与外侧两直线之间
的距离） 研究拓展：
我们如果把△ABC放到直角坐标系中来研究（如图2），设A?x,y?，B?x,y?，C?x,y?，D?xAABBCCD,yD?
则铅垂高：h?AD?y水平宽：a?x∴ S?ABCCA?yD，
?xB
?11ah???yA?yD??xC?xB?22问题解决：
如图3，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B. (1)求抛物线和直线AB的解析式； (2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S?CAB；
(3)是否存在一点P，使S△PAB=9S△CAB，若存在，8