化归与转化思想在解析几何中的应用
赵鸿涛
解决数学问题实际上就是把条件一步步的向结论转化，也就是我们所说的“变换”，因此，著名数学家波利亚认为，解题过程主要是问题变化的过程“我们必须一再的变换它，重新叙述它，变化它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止”. 高考的每一道题都是若干个知识点综合的结果，要想顺利地解出每一道题，就要有把题目还原成单个知识点的能力，也就是化归与转化的能力。解析几何在高考中占有重要地位，是考查学生数学能力和素养的重要载体，但很大一部分学生惧怕解析几何，一是感到解析几何的运算量大，二是对某些问题无从下手。下面我想以具体问题为例，从三个方面来探求化归与转化思想在解析几何中的应用.
一.抽象问题具体化
借助直观形象，把一些抽象问题中各个量之间的关系形象化——也就是我们经常强调的数形转换。
例1.设实数x,y满足方程x?y?4x?4y?7?0,（1）求大值.
分析：首先可进行数（方程）和形（圆）之间的第一次转化：方程x2?y2?4x?4y?7?0表示的图形是以(2,2)为圆心，1为半径的圆；接着可进行形（圆）和数（三角代换）之间
22y的取值范围；（2）求xy的最x的第二次转化：??x?2?cos?y,???0,2??；然后进行数（，xy）和形（直线的斜率，
x?y?2?sin?y2?sin?sin??(?2)??表示单位圆上的点与点x2?cos?cos??(?2)二次函数）之间的第三次转化：
(?2,?2)连线的斜率；xy?(2?cos?)(2?sin?)?sin?cos??2(sin??cos?)?4
?13(t?2)2?（这里，令sin??cos??t,t?2） 22y?4?74?7?9?42xy,经过这三次转化，就不难求出??，的最大值是. ?x?33?2例2.函数y?sinx?5的值域是__________. sinx分析：这是一道学生很熟悉的题目，但是要真正既快又准的做出来对一大部分学生来说还是有难度的，下面给出两种转换的思路. 思路一：令sinx?t,则t???1,0???0,1?,y?t?25?t2?yt?5?0. t设f(t)?t?yt?5,（“数”向“形”转换），根据二次方程的实根分布即可求出该函数值域.
sin2x?5sin2x?(?5)t2?(?5)?思路二：y?，若令sinx?t,则y?，从而可联想到过
sinxsinx?0t?0定点(0,?5)与抛物线y?x2(?1?x?1,x?0)上的点直线斜率（也是“数”向“形”转化）.
再比如，已知函数f(x)?ax?b,且2a2?6b2?3,证明对于任意的x???1,1?，恒有
f(x)?2.本题可由条件联想到椭圆，从而找到解决问题的思路.
“数”和“形”之间的转化往往会使抽象的问题变得具体，但这需要老师在日常的教学
中向学生不断地灌输数形结合的思想，并有意识的引导，学生经过长期的体验，才能形成转化的能力，切忌一蹴而就。 二.几何问题代数化
x2y2??1.（1）分别写出该方程表示椭圆和双曲线时k的取值范围；例3.已知方程
9?k4?k（2）证明：总有该方程所表示的一个椭圆和双曲线经过坐标平面内的任意一点
(a,b),(ab?0).
分析：这是选修2-1中的一个课堂练习题，学生完成第一小题没有任何问题，但第二小题可能会让大部分学生一头雾水,为此，可以启发学生将该几何问题转化为代数问题——方程根的讨论.将(a,b)代入方程，化简整理成关于k的一元二次方程：
k2?(a2?b2?13)k?(3b?4a2?9b2)?0，
若令f(k)?k?(a?b?13)k?(3b?4a?9b)， 则f(4)?5b?0,f(9)?5a?0，
所以结合二次函数f(k)的图像可知，方程f(k)?0在区间(??,4),(4,9)内各有一根，即总有该方程所表示的一个椭圆和双曲线经过坐标平面内的任意一点(a,b),(ab?0)成立. 把研究几何图形的性质转化成代