化归与转化思想在解析几何中的应用
赵鸿涛
解决数学问题实际上就是把条件一步步的向结论转化，也就是我们所说的“变换”，因此，著名数学家波利亚认为，解题过程主要是问题变化的过程“我们必须一再的变换它，重新叙述它，变化它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止”. 高考的每一道题都是若干个知识点综合的结果，要想顺利地解出每一道题，就要有把题目还原成单个知识点的能力，也就是化归与转化的能力。解析几何在高考中占有重要地位，是考查学生数学能力和素养的重要载体，但很大一部分学生惧怕解析几何，一是感到解析几何的运算量大，二是对某些问题无从下手。下面我想以具体问题为例，从三个方面来探求化归与转化思想在解析几何中的应用.
一.抽象问题具体化
借助直观形象，把一些抽象问题中各个量之间的关系形象化——也就是我们经常强调的数形转换。
例1.设实数x,y满足方程x?y?4x?4y?7?0,（1）求大值.
分析：首先可进行数（方程）和形（圆）之间的第一次转化：方程x2?y2?4x?4y?7?0表示的图形是以(2,2)为圆心，1为半径的圆；接着可进行形（圆）和数（三角代换）之间
22y的取值范围；（2）求xy的最x的第二次转化：??x?2?cos?y,???0,2??；然后进行数（，xy）和形（直线的斜率，
x?y?2?sin?y2?sin?sin??(?2)??表示单位圆上的点与点x2?cos?cos??(?2)二次函数）之间的第三次转化：
(?2,?2)连线的斜率；xy?(2?cos?)(2?sin?)?sin?cos??2(sin??cos?)?4
?13(t?2)2?（这里，令sin??cos??t,t?2） 22y?4?74?7?9?42xy,经过这三次转化，就不难求出??，的最大值是. ?x?33?2例2.函数y?sinx?5的值域是__________. sinx分析：这是一道学生很熟悉的题目，但是要真正既快又准的做出来对一大部分学生来说还是有难度的，下面给出两种转换的思路. 思路一：令sinx?t,则t???1,0???0,1?,y?t?25?t2?yt?5?0. t设f(t)?t?yt?5,（“数”向“形”转换），根据二次方程的实根分布即可求出该函数值域.
sin2x?5sin2x?(?5)t2?(?5)?思路二：y?，若令sinx?t,则y?，从而可联想到过
sinxsinx?0t?0定点(0,?5)与抛物线y?x2(?1?x?1,x?0)上的点直线斜率（也是“数”向“形”转化）.
再比如，已知函数f(x)?ax?b,且2a2?6b2?3,证明对于任意的x???1,1?，恒有
f(x)?2.本题可由条件联想到椭圆，从而找到解决问题的思路.
“数”和“形”之间的转化往往会使抽象的问题变得具体，但这需要老师在日常的教学
中向学生不断地灌输数形结合的思想，并有意识的引导，学生经过长期的体验，才能形成转化的能力，切忌一蹴而就。 二.几何问题代数化
x2y2??1.（1）分别写出该方程表示椭圆和双曲线时k的取值范围；例3.已知方程
9?k4?k（2）证明：总有该方程所表示的一个椭圆和双曲线经过坐标平面内的任意一点
(a,b),(ab?0).
分析：这是选修2-1中的一个课堂练习题，学生完成第一小题没有任何问题，但第二小题可能会让大部分学生一头雾水,为此，可以启发学生将该几何问题转化为代数问题——方程根的讨论.将(a,b)代入方程，化简整理成关于k的一元二次方程：
k2?(a2?b2?13)k?(3b?4a2?9b2)?0，
若令f(k)?k?(a?b?13)k?(3b?4a?9b)， 则f(4)?5b?0,f(9)?5a?0，
所以结合二次函数f(k)的图像可知，方程f(k)?0在区间(??,4),(4,9)内各有一根，即总有该方程所表示的一个椭圆和双曲线经过坐标平面内的任意一点(a,b),(ab?0)成立. 把研究几何图形的性质转化成代数方程根的讨论，这在直线与圆锥曲线的位置关系的学习中比比皆是，也可以说是解析几何的一个主要任务，所以，在教学中要注意引导二次方程与二次函数、一元二次方程的化归与转化.比如，可以让学生练习如下的问题:
设A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y?2px(p?0)上的两点，且在x轴的两侧.（1）若（2）若p为定值，?AOB?135?,求直线AB在xy1?y2??2p,证明直线AB恒过一定点；轴上截距的取值范围.（范围是0,(6?42)p?）
22222222??三.陌生问题熟悉化
把陌生问题转化成熟悉的问题，或者把未知问题转化成已知问题，这是有一个常用的化
归原则.集合是同学们进入高中后接触的第一个不定义的概念，很多同学觉得不好理解，下面我就用一个集合表示的解析几何问题加以说明.
例4.设集合A?(x,y)x?1,y?1,B?(x,y)(x?a)?(y?a)?1，若A?B??,求实数a的取值范围.
分析：解析几何问题用集合语言来表述，这是集合思想渗透于中学数学的一个方面.由于同学们对集合的理解不到位，导致这一类问题成了学生比较头疼的一大难题.事实上，只要剥去集合这一外衣，暴露出解析几何的内在本质，这一类陌生问题立刻就会变得熟悉起来.就拿本题来说，集合A中元素的轨迹是两组对边分别平行于坐标轴，以原点为中心，2为边成长的正方形的边界及内部，集合B中元素的轨迹是圆心在直线y?x上，半径为1的圆系
???22??22?,1?的边界及内部，再根据条件A?B??,，可以很容易的得出a的范围是??1??. 22??这一类问题就是我们常说的“新瓶装陈酒”的问题，只要引导学生反复读题，仔细理解
题意，认真揣摩每个条件包含的熟悉因素，就一定可以转化为我们熟悉的问题.
以上是我在日常教学中的点滴体会，可能和高考的要求相距甚远，但我始终认为，人的每一种能力都是在长期的不断实践中产生的，所谓的灵感，是持续思考之后的顿悟，是对大量的基础知识、基本技能的综合、概括、纯化和提取的结果，因此在日常的教学中，要想把培养能力落到实处，就不能不重视数学思想与方法，而数学思想与方法的外在体现就是解题的思路与过程，所以，作为数学教师，研究解题方法是最基本的任务之一，正像数学家诺瓦列斯所说：“数学方法乃是数学的规律与本质.只有完全的掌握疗方法的人，才能真正的成为数学家.”我们要想成为合格的数学教师，也应该掌握数学思想与方法.以上是我的一管之见，不当之处，敬请各位指正.