12
1．过点P(－2,0)的直线与抛物线C：y＝4x相交于A、B两点，且|PA|＝|AB|，则点
2
A到抛物线C的焦点的距离为( )
5
A. 39C. 7答案 A
解析 设A(x1，y1)、B(x2，y2)，分别过点A、B作直线x＝－2的垂线，垂足分别为点D、
7B. 5D．2
E.∵|PA|＝|AB|，
??3x1＋2＝x2＋2，∴?
?3y1＝y2，?
1
2
??y1＝4x1，又?2
?y2＝4x2，?
2
2
得x1＝，则点A到抛物线C的焦点的距离
3
25为1＋＝. 332．设F为抛物线C：y＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A.C.
33 463 32
B.93 82
9D. 4
答案 D
33?3??3?解析 由已知得F?，0?，故直线AB的方程为y＝tan30°·?x－?，即y＝x－. 34?4??4?设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立
??y＝3x－3， ①
34???y2＝3x， ②
1273
将①代入②并整理得x－x＋＝0，
321621
∴x1＋x2＝，
2
213
∴线段|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12.
22
又原点(0,0)到直线AB的距离为d＝
341＋13
3＝. 8
1139
∴S△OAB＝|AB|d＝×12×＝.
2284
3.已知点A(－2,3)在抛物线C：y＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为( )
2
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1
A. 23C. 4答案 D 解析 由题意可知准线方程x＝－＝－2，∴p＝4，∴抛物线方程为y＝8x.由已知易
2得过点A与抛物线y＝8x相切的直线斜率存在，设为k，且k>0，则可得切线方程为y－3
??y－3＝k＝k(x＋2)．联立方程?2??y＝8x，2
22
B. 34D. 3p2
x＋2， 消去x得ky－8y＋24＋16k＝0.(*)
1
由相切得Δ＝64－4k(24＋16k)＝0，解得k＝或k＝－2(舍去)，代入(*)解得y＝8，
2把y＝8代入y＝8x，得x＝8，即切点B的坐标为(8,8)，又焦点F为(2,0)，故直线BF的4斜率为.
3
→→
4．已知F为抛物线y＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA·OB＝
2
2
2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )
A．2 C.
172
8
B．3 D.10
答案 B
解析 设AB所在直线方程为x＝my＋t.
??x＝my＋t，由?2
?y＝x，?
2
消去x，得y－my－t＝0.
2
设A(y1，y1)，B(y2，y2)(不妨令y1>0，y2<0)， 故y1＋y2＝m，y1y2＝－t. →→
22
而OA·OB＝y1y2＋y1y2＝2. 解得y1y2＝－2或y1y2＝1(舍去)． 所以－t＝－2