12
1．过点P(－2,0)的直线与抛物线C：y＝4x相交于A、B两点，且|PA|＝|AB|，则点
2
A到抛物线C的焦点的距离为( )
5
A. 39C. 7答案 A
解析 设A(x1，y1)、B(x2，y2)，分别过点A、B作直线x＝－2的垂线，垂足分别为点D、
7B. 5D．2
E.∵|PA|＝|AB|，
??3x1＋2＝x2＋2，∴?
?3y1＝y2，?
1
2
??y1＝4x1，又?2
?y2＝4x2，?
2
2
得x1＝，则点A到抛物线C的焦点的距离
3
25为1＋＝. 332．设F为抛物线C：y＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A.C.
33 463 32
B.93 82
9D. 4
答案 D
33?3??3?解析 由已知得F?，0?，故直线AB的方程为y＝tan30°·?x－?，即y＝x－. 34?4??4?设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立
??y＝3x－3， ①
34???y2＝3x， ②
1273
将①代入②并整理得x－x＋＝0，
321621
∴x1＋x2＝，
2
213
∴线段|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12.
22
又原点(0,0)到直线AB的距离为d＝
341＋13
3＝. 8
1139
∴S△OAB＝|AB|d＝×12×＝.
2284
3.已知点A(－2,3)在抛物线C：y＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为( )
2
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1
A. 23C. 4答案 D 解析 由题意可知准线方程x＝－＝－2，∴p＝4，∴抛物线方程为y＝8x.由已知易
2得过点A与抛物线y＝8x相切的直线斜率存在，设为k，且k>0，则可得切线方程为y－3
??y－3＝k＝k(x＋2)．联立方程?2??y＝8x，2
22
B. 34D. 3p2
x＋2， 消去x得ky－8y＋24＋16k＝0.(*)
1
由相切得Δ＝64－4k(24＋16k)＝0，解得k＝或k＝－2(舍去)，代入(*)解得y＝8，
2把y＝8代入y＝8x，得x＝8，即切点B的坐标为(8,8)，又焦点F为(2,0)，故直线BF的4斜率为.
3
→→
4．已知F为抛物线y＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA·OB＝
2
2
2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )
A．2 C.
172
8
B．3 D.10
答案 B
解析 设AB所在直线方程为x＝my＋t.
??x＝my＋t，由?2
?y＝x，?
2
消去x，得y－my－t＝0.
2
设A(y1，y1)，B(y2，y2)(不妨令y1>0，y2<0)， 故y1＋y2＝m，y1y2＝－t. →→
22
而OA·OB＝y1y2＋y1y2＝2. 解得y1y2＝－2或y1y2＝1(舍去)． 所以－t＝－2，即t＝2. 所以直线AB过定点M(2,0)．
1
而S△ABO＝S△AMO＋S△BMO＝|OM||y1－y2|＝y1－y2，
2
2
2
2
S△AFO＝|OF|×y1＝×y1＝y1，
1999
故S△ABO＋S△AFO＝y1－y2＋y1＝y1－y2.由y1－y2＝y1＋(－y2)≥2
888829×2＝3， 8得S△ABO＋S△AFO的最小值为3，故选B.
5．在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x－y＝1右支上的一个动点．若点P到直线
2
2
12112418
9
y1×－y28
＝
x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________．
答案 2 22
2
解析 直线x－y＋1＝0与双曲线x－y＝1的一条渐近线x－y＝0平行，这两条平行线之间的距离为
222
，又P为双曲线x－y＝1右支上的一个动点，点P到直线x－y＋1＝0的2
22，即实数c的最大值为. 22
2
距离大于c恒成立，则c≤
6．设F为抛物线C：y＝4x的焦点，过点P(－1,0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点．若|FQ|＝2，则直线l的斜率等于________．
答案 ±1
解析 设直线AB方程为x＝my－1(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线和抛物线方程，整理得，y－4my＋4＝0，由根与系数关系得y1＋y2＝4m，y1y2＝4.故Q(2m－1,2m)．由|FQ|＝2知
2m2
2
2
＋2m－1－1
22
＝2，解得m＝1或m＝0(舍去)，故直线l的斜率等
22
于±1(此时直线AB与抛物线相切，为满足题意的极限情况)．
7．已知动点P到直线l：x＝－1的距离等于它到圆C：x＋y－4x＋1＝0的切线长(P到切点的距离)．记动点P的轨迹为曲线E.
2
2
(1)求曲线E的方程；
(2)点Q是直线l上的动点，过圆心C作QC的垂线交曲线E于A，B两点，设AB的中点|QD|
为D，求的取值范围．
|AB|
解 (1)由已知得，圆心为C(2,0)，半径r＝3.设P(x，y)，依题意可得|x＋1|＝
x－2
2
＋y－3，整理得y＝6x.故曲线E的方程为y＝6x.
222
(2)设直线AB的方程为my＝x－2，
则直线CQ的方程为y＝－m(x－2)，可得Q(－1,3m)． 将my＝x－2代入y＝6x并整理可得y－6my－12＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝6m，y1y2＝－12，D(3m＋2,3m)，|QD|＝3m＋3. |AB|＝23
1＋m2
2
2
2
2
3m＋4，
2
2
|QD|?21??31?3m＋31?|QD|?31??所以?＝＝?1－2?∈?，?，故∈?，?. ?2
4?3m＋4??164?|AB|?42??|AB|?43m＋4
x2y228．已知椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)过点(0，2)，且离心率e＝. ab2
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(1)求椭圆E的方程；
?9?(2)设直线l：x＝my－1(m∈R)交椭圆E于A，B两点，判断点G?－，0?与以线段AB为
?4?
直径的圆的位置关系，并说明理由．