n解：从N件产品中抽取n件产品的每一取法构成一基本事件,共有CN种不同取法.
(1)设A表示抽取n件产品中恰有k件不合格品的事件，则A中包含样本点数为
CCkMn?kN?Mkn?kCMCN?M,由古典概型计算公式，P(A)?。 nCN(2) 设B表示抽取n件产品中至少有一件不合格品的事件，则B表示n件产品全为合格品的事件，包含CnN?MnCNM个样本点。则P(B)?1?P(B)?1??。 nCN6. 一个口袋里装有10只球，分别编上号码1,…,10,随机地从口袋里取3只球。试求：
(1) 最小号码是5的概率； (2) 最大号码是5的概率。
3解:从10只球中任取3只的每一种取法构成一基本事件，则样本点总数为C10。
2C53C102C43C10(1)设A表示“3只球中最小号码是5的取法”，共有
2C5种取法，因此P(A)??1 121 20(2)设B表示“3只球中最大号码是5的取法”，共有
2C4种取法，因此P(A)??7. 一份试卷上有6道题。某位学生在解答时由于粗心随机地犯了4处不同的 错误。试求，
(1) 这4处错误发生在最后一道题上的概率； (2) 这4处错误发生在不同题上的概率； (3) 至少有3道题全对的概率。
解：4个错误发生在6道题中的可能结果共有64=1296种，即样本点总数为1296。 (1) 设A表示“4处错误发生在最后一道题上”，只有1种情形，因此P(A)?1； 1296(2) 设B表示“4处错误发生在不同题上”，即4处错误不重复出现在6道题上，共有P64种方式，因此有6?5?4?3?360种可能，故P(B)?3605?. 129618(3) 设C表示“至少有3道题全对”相当于“至少有2个错误发生在同一题上”，
13而C表示“4处错误发生在不同题上”，C?B，P(C)?1?P(B)?.
188. 在单位圆内随机地取一点Q，试求以Q为中点的弦长超过1的概率。 解：在单位内任取一点Q，坐标为(x,y)，样本空间S=(x,y)x2?y2?1,记事件A
??13?22为“以Q为中点的弦长超过1”，A=?(x,y)1?(x2?y2)?()2? ??,?(x,y)x?y??。
?2??4?3由几何概型公式得P(A)?4?0.75.
??1????9. 在长度为T 的时间段内，有两个长短不等的信号随机地进入接收机。长信号持续时间为t1(?T)，短信号持续时间为t2(?T)。试求这两个信号互不干扰的概率。 解：设x,y表示两个长短不等的信号到达时间，样本空间S=?(x,y)0?x,y?T?,记A为“两个信号互不干扰”，则A=?(x,y)?x?y?t2,y?x?t1?，由几何概型公式得
11(T?t2)2?(T?t1)2t121t2212P(A)?2?(1?)?(1?)。 2T2TT210. 从5双不同的鞋中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只能配成一双的概率。 解：为从5双(10只)不同的鞋中任取4只，我们一只一只地取出,共有10×9×8
×7种取法，此即为样本点总数。设以A表示事件“4只中至少有2只配对成双”，则A的对立事件A为“4只鞋子中没有2只成双”。现在来求A中的样本点数：4只鞋是一只一只取出的，第一只可以任意取，有10中取法，第二只只能取剩下的且除去和已取出的第一只配对的另一只后的8只鞋子中任取一只，它有8种取法。同理第三只、第四只鞋子只有6、4种取法，所以A中样本点总数为10×8×6×4，
得
P(A)?1?P(A)?1?10?8?6?413?
10?9?8?72111. 设A,B是两个事件,已知P(A)?0.5,P(B)?0.7,,试求P(A?B)P(A?B?)0.8与P(B?A)。
)?P(B)?P(AB)可知P(AB)?0.4解：由加法公式P(A?B)?P(A，。由于
A?B?A?AB,B?A?B?AB,且AB?A,AB?B,则由概率性质可知
P(A?B)?P(A?AB)?P(A)?P(AB)?0.1,同理P(B?A)?P(B)?P(AB)?0.3。
12．设A,B,C是三个事件，已知P(A)?P(B)?P(C)?0.3,P(AB)?0.2，
P(BC)?P(AC)?0。试求A,B,C中至少有一个发生的概率和A,B,C全不发生的
概率。
解：由ABC?BC,0?P(ABC)?P(BC)?0,故P(ABC)?0。A?B?C表示A,B,C中至少有一个发生的事件，由已知事件概率及概率加法公式有
P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)?0.3?3?0.2?0.7.而A,B,C全不发生这一事件可用A?B?C表示，由逆事件概率关系有
PA?B?C?1?P(A?B?C)?0.3.
11113.已知P(A)?,P(B|A)?,P(A|B)?，求P(A?B)。
346??解：由乘法公式P?AB??P(A)P(BA)?P?B??P(AB)1,又由条件概率公式P?AB??知 12P(B)13，再由加法公式P?A?B??P(A)?P(B)?P(AB)?。 2414.设A,B是两个事件,已知P(A)?0.3,P(B)?0.6，试在下列两种情况中分别求出
P(A|B),P(A|B)。
(1) 事件A,B互不相容； (2) 事件A,B有包含关系。
解：(1)由AB??,则P(AB)?0，P(A?B)?P(A)?P(B)?0.9。由条件概率公式及逆事件概率关系得P(AB)?P(AB)P(A?B)P(AB)?0，P(AB)???0.25 P(B)P(B)P(B)(2)由于P(A)?P(B)，故A?B。因此
P(AB)?AB?A,A?B?B。故类似（1）可得
P(AB)P(A?B)P(B)P(AB)P(A)??0.5???1 ，P(AB)?P(B)P(B)P(B)P(B)P(B)15．一个盒子中装有10只晶体管，其中有3只是不合格品。现在作不放回抽样：连续取2次，每次随机地取1只 。试求下列事件的概率。 (1) 2只都是合格品种
(2) 1只是合格品，1只是不合格品；
(3) 至少有1只是合格品。
解：设Ai表示第i次取的是合格品，i=1，2
767*?1091573377 (2)P(A1A2?A1A2)?*?*?109109153214(3)P(A1?A2)?1?P(A1A2)?1?*?10915(1)P(A1A2)?P(A1)P(A2|A1)?
16．某商店出售晶体管，每盒装100只，且已知每盒混有4支不合格品。商店采用“缺一赔十”的销售方式：顾客买一盒晶体管，如果随即地取1只发现是不合格品，商店要立刻把10只合格品的晶体管放在盒子中，不合格的那只晶体管不再放回。顾客在一个盒子中随机地先后取3只进行测试，试求他发现全是不合格品的概率。
解：设Ai表示第i次取的是不合格品，i=1，2，3 则
P(A1A2A3)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)?4323**?100109118160775
17．已知A,B,C互相独立，证明A,B,C也互相独立.
解：有A，B，C相互独立可得：P(AB)=1-P(A?B)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)则三事件相互独立。
18．一射手对同一目标进行四次独立的射击，若至少射中一次的概率为此射手每次射击的命中率.
解：设Ai表示第i次其中目标，i=1，2，3，4
80，求81