【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）令x=0可求得C点坐标，化为顶点式可求得D点坐标；
（2）令y=0可求得A、B的坐标，结合D点坐标可求得△ABD的面积，设直线CD交x轴于点E，由C、D坐标，利用待定系数法可求得直线CD的解析式，则可求得E点坐标，从而可表示出△BCD的面积，可求得k的值；
（3）由B、C、D的坐标，可表示出BC2、BD2和CD2，分∠CBD=90°和∠CDB=90°两种情况，分别利用勾股定理可得到关于a的方程，可求得a的值，则可求得抛物线的解析式． 【解答】解：
（1）在y=a（x﹣1）（x﹣3），令x=0可得y=3a， ∴C（0，3a），
∵y=a（x﹣1）（x﹣3）=a（x2﹣4x+3）=a（x﹣2）2﹣a， ∴D（2，﹣a）；
（2）在y=a（x﹣1）（x﹣3）中，令y=0可解得x=1或x=3， ∴A（1，0），B（3，0）， ∴AB=3﹣1=2， ∴S△ABD=×2×a=a，
如图，设直线CD交x轴于点E，设直线CD解析式为y=kx+b，
把C、D的坐标代入可得，解得，
∴直线CD解析式为y=﹣2ax+3a，令y=0可解得x=， ∴E（，0）， ∴BE=3﹣=
∴S△BCD=S△BEC+S△BED=××（3a+a）=3a， ∴S△BCD：S△ABD=（3a）：a=3， ∴k=3；
（3）∵B（3，0），C（0，3a），D（2，﹣a），
∴BC2=32+（3a）2=9+9a2，CD2=22+（﹣a﹣3a）2=4+16a2，BD2=（3﹣2）2+a2=1+a2，
∵∠BCD＜∠BCO＜90°，
∴△BCD为直角三角形时，只能有∠CBD=90°或∠CDB=90°两种情况，
①当∠CBD=90°时，则有BC2+BD2=CD2，即9+9a2+1+a2=4+16a2，解得a=﹣1（舍去）或a=1，此时抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；
②当∠CDB=90°时，则有CD2+BD2=BC2，即4+16a2+1+a2=9+9a2，解得a=﹣去）或a=
，此时抛物线解析式为y=
x2﹣2
x+
；
x2﹣（舍
综上可知当△BCD是直角三角形时，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3或y=2
x+
．
26．已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，D是AC边上的一个动点，将△ABD沿BD所在直线折叠，使点A落在点P处．
（1）如图1，若点D是AC中点，连接PC． ①写出BP，BD的长；
②求证：四边形BCPD是平行四边形．
（2）如图2，若BD=AD，过点P作PH⊥BC交BC的延长线于点H，求PH的长．
【考点】LO：四边形综合题．
【分析】（1）①分别在Rt△ABC，Rt△BDC中，求出AB、BD即可解决问题； ②想办法证明DP∥BC，DP=BC即可；
PE⊥AC于E，（2）如图2中，作DN⊥AB于N，延长BD交PA于M．设BD=AD=x，则CD=4﹣x，在Rt△BDC中，可得x2=（4﹣x）2+22，推出x=DN=
=
，由△BDN∽△BAM，可得=
，由此求出AE=
=
，推出
，由此求出AM，由△ADM
=由此即可
∽△APE，可得解决问题．
，可得EC=AC﹣AE=4﹣
【解答】解：（1）①在Rt△ABC中，∵BC=2，AC=4， ∴AB=∵AD=CD=2， ∴BD=
=2
，
．
=2
，
由翻折可知，BP=BA=2
②如图1中，
∵△BCD是等腰直角三角形， ∴∠BDC=45°，
∴∠ADB=∠BDP=135°， ∴∠PDC=135°﹣45°=90°， ∴∠BCD=∠PDC=90°， ∴DP∥BC，∵PD=AD=BC=2， ∴四边形BCPD是平行四边形．
（2）如图2中，作DN⊥AB于N，PE⊥AC于E，延长BD交PA于M．
设BD=AD=x，则CD=4﹣x， 在Rt△BDC中，∵BD2=CD2+BC2， ∴x2=（4﹣x）2+22， ∴x=，
∵DB=DA，DN⊥AB， ∴BN=AN=
，
==
，
，
在Rt△BDN中，DN=由△BDN∽△BAM，可得
∴=，
X kB1.cOM∴AM=2， ∴AP=2AM=4，
由△ADM∽△APE，可得∴
=，
，
=，
=
，
∴AE=
∴EC=AC﹣AE=4﹣
易证四边形PECH是矩形， ∴PH=EC=．