第四章 能量和动量
例题：半径为r的半球形水池装满密度为?的水，问要将池内的水抽干至少要做多少功
解：先求匀质半球的质心位置，在距圆心x处，取微元dx，设密度为?，球半径为r，质心坐标为L
dm???(r2?x2)dxrr?0xdm?0??x(r2?x2)dxL??232??r??r3331414 r?rr23?(rx?x)dx24?3r?0?23238rr3321W总＝??r3gL???gr434例题：一架自动扶梯以恒定的速度运送乘客上同一层楼，某一乘客第一次站在扶梯上不
动；第二次以相对于扶梯的速率沿扶梯匀速向上走，两次扶梯运客所做的功分别为W1、W2，扶梯牵引力的功率分别P1、P2，则（ D ）
A、W1?W2 P1?P2 B、W1?W2 P1?P2
C、W1?W2 P1?P2 D、W1?W2 P1?P2
解：由于两次扶梯施加的力相等，而两次扶梯的速度也相等，所以P1?P2。由于第二次用时短，所以W1?W2
例题：一帆船在静水中顺风飘行，风速为?0，船速多大时，风供给船的功率最大。（设帆面是完全弹性面，且与风向垂直）
解：设每个空气分子的质量为m，单位体积内的分子数为n，帆船的面积为S， 对船参考系，风以（(?0??)的速度撞击帆，并原速反弹
Ft?[nm(?0??)St]2(?0??) P?F??2nSm(?0??)2?
由上可知，?取不同值，有不同的功率。当???0/3时，风供给船的功率最大。 例题：在盛有水的圆柱形容器内竖直地浮着一块圆柱形木块，木块体积为V、高为h，其密度为水密度?的一半，横截面积也为容器横截面积的一半，水面高为2h，用力缓慢地把木块压到容器底上，设水不会溢出，求压力所做的功。
解一：压力所做的功等于该过程中木块和水系统增加的重力势能。 设木块的横截面积为S=V/h
h??S??g 222h1h?h末态重力势能 E2??(2h?)2Sg(2h?)?hSg
4242211?gVh 则有 W?E2?E1?16初态重力势能 E1??2h2Sgh??h
解二： 当木块被压到如图Ⅰ所示的状态时，压力所做功的效果相当于将Ⅲ部分的木块由水面上移至图示位置，而Ⅲ部分的水被提升至Ⅰ位置，故此过程做功
W1??1111113Vg（h+h+h）-?Vgh=?gVh 24282216当木块由图Ⅰ所示位置被压到图Ⅱ所示位置时，压力所做功的效果相当于将Ⅳ部分的木块移至V位置，而V部分的水移至Ⅳ位置，此过程做功
11?Vgh=?gVh 2211故全过程压力做功W?W1?W2??gVh。
16W2=?Vgh-例题: 质量为m的汽车以恒定功率P沿摩擦因数为μ的水平路面由静止出发,经时间t达到最大速度,求t内的位移。
解：据动能定理 Pt – μmgS = 达到最大速度时 P =μmgv
12mv 21121p2(Pt?mv)?(Pt?) 解得 s??mg2?mg2mg2?2例题：一支水枪均匀喷洒半径为12m的农田，已知从4m深井里每分钟抽水80L喷出，
求电动机功率。
解：水从水管喷出后做斜抛运动，当喷射角?=45°时，斜抛运动的射程最大，
R?2?0sin??0cos? g把?=45°代入后解得 ?0=gR。 因而喷射水的功率为
121m?0?80?1?(12?9.8)22P2=??78.4W。 t60mgh80?1?9.8?4??52.3W。 抽水的功率为P1=t60所以，水泵的电机功率为P=p1+P2=131W。
例题：电动机通过一绳吊起一质量为8Kg的物体，绳的拉力不能超过120N，电动机的功率不能超过1200W，要将此物体由静止起用最快的方式吊高90m（已知此物体在被吊高接近90m时已开始最大速度匀速上升），所需时间为多少？
解：本题可分为两个过程来处理：第一个过程是以绳所能承受的最大拉力拉物体，使物
体匀加速上升，第一个过程结束时，电动机功率刚好达到最大功率；第二个过程是电动机一直以最大功率拉物体，拉力逐渐减小，物体变加速上升，当拉力减少至等于重力时，物体开始匀速上升。在匀加速运动过程中，加速度
F?mg?5m/s2 a?mP?10m/s 匀加速运动的末速度 ?1?F?1?2s 匀加速上升时间 t1?a?1匀加速上升高度 h1?t1?10m
2在功率恒定的上升过程中，最后匀速运动的速度 ?2?p?15m/s mg11Pt2?mgh2?m?22?m?12
22代入数据解得 t2?5.75s
所需时间最少应为 t?t1?t2?7.75s
例题：使半径为R的薄壁圆筒迅速旋转到角速度?0，然后把它放在倾角均为45°的两斜面间，如图所示，两斜面的动摩擦因数?与滑动速度无关。已知圆筒减速过程中其轴保持静止不动，求到转动停止时，圆筒转过的圈数。
解：薄壁圆筒受力如图所示，由于圆筒在水平方向和竖直方向都无平动加速度，故
N2?f1?mgcos45o?0 f2?N1?mgsin45o?0 f1??N1 f2??N2 由此解得
2mg(???2)2mg(???2)，f2? f1?222(1??)2(1??)1m?2?(f1?f2)s 另由动能定理得
2且 ???0R
42??g例题：如图所示，将质量为M?60kg、长为L?1.5m的平板车放在光滑水平地面上，车的左端放一质量m?5kg的物体，m与M之间的动摩擦因数??0.3。今用F?20N的水平拉力将m拉离右端，求m在离开车的右端的一瞬间时，力F
解得 n?s2?R?2(1??2)?0R