北京大学
政学者论文集（2001年） 玻色－爱因斯坦凝聚的相关研究
玻色-爱因斯坦凝聚的相关研究
The related research on Bose-Einstein
condensation
化学与分子工程学院 98级应用化学系 刘睿
摘要
本文对玻色-爱因斯坦凝聚中的唯里关系及分子凝聚进行了研究。在综述里本文先阐明玻色-爱因斯坦凝聚的基本概念，介绍相关的实验进展。在第二章里我们对二维空间涡流状态束缚的零温玻色-爱因斯坦凝聚的Gross Pitaevskii方程用唯里能量关系进行详细的分析并对其数值解进行讨论。第三章对分子态的玻色-爱因斯坦凝聚的形成及性质开展了探讨。
Abstract
The purpose of this dissertation is to deeply understand the virial-relationship in Bose-Einstein condensation and the molecular Bose-Einstein condensate. A comprehensive review of the basic concepts of Bose-Einstein condensation, including its theory, experiments and technical skills is presented. We test the result of the Gross Pitaevskii equation of the trapped zero temperature Bose Einstein condensed atomic gases with Virial theorem in the two dimensional space of the vortex state. The numerical solution of virial relationship of the system is analyzed in detail. We also discuss the formation and properties of MBEC (molecular Bose-Einstein condensation).
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一、 BEC理论和实验概述 （一）、玻色-爱因斯坦凝聚的基本理论
形成BEC的条件是
（1）
其中??h/2?MkBT是热波长（chermal wavelength）, 它和粒子的德布罗意波长同数量级，
V是粒子所占体积，N是粒子数。形成BEC的条件即是粒子的德布罗意波长超过粒子间的间距.理想玻色气体处于热平衡状态时服从玻色-爱因斯坦统计。如果以n?i代表热平衡状态时处于?i能态的某一量子态的平均粒子数，则n?i可表示为[1]
n?i?1e(???)/kBT?1 （2）
其中，u为粒子的化学势，kB为玻耳兹曼常量。系统的总粒子数为
N??n?i??ii1e(?i??)/kBT?1 （3）
用N0 表示处于最低能级（?0?0）的粒子数，用Ni表示处于较高能级中的粒子数，则总粒子数为
N=N0+Ni （4）
令dN 为能量在????d? 的粒子数，对只考虑移动的玻色子来说：
1/22?V?d?dN?3(2m)3/2(???)/kBT (5)
he?1则
2?V?1/2d?3/2N?3(2m)?(???)/kBT (6)
h?10e当温度T逐渐降低，??0的能级上还没有粒子时，N应该保持为常数，即（6）式保持为常数。当T变小时，??(T)必须变小，（注意?是负的），设T?Tc时，??(Tc)即达到了最小值。即到了Tc时，温度若再降低，（6）式就无法满足右边N是常数了，Tc是适用的最低温度，则
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2?V?1/2d?3/2N?3(2m)??/kBTch?10eV(2?mkBTc)3/2?1 ? ?3/2h3nn?1?
（7）
?V(2?mkBTc)3/2?2.612 （8） 3h?其中?13/2n?1n?2.612
从式（8）可计算出凝聚温度Tc
h2NTc?()2/3 （9）
2?mkB2.612V临界密度
?MkBT??N??2.612???2??V?c?2?h?3/23/2?T????????? （10）
Ni=N(T/Tc)3/2 （11）
N0=N[1-(T/Tc)3/2] （12）
当体系的温度低于临界温度Tc时，N0与Ni在数量上可以比拟。如果T=0，则N0=Ni,这时全部粒子都转移到最低能级，如图一所示。这个现象就是玻色-爱因斯坦凝聚。
图1 粒子数布局与温度的关系
要实现玻色爱因斯坦凝聚，在粒子密度一定时，就必须降低体系的温度，
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