专题限时集训(四) 平面向量 (对应学生用书第86页) (限时：120分钟)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上．)
→3?→?13??1
1．(广东湛江市2017届高三上学期期中调研考试)已知向量BA＝?－，?，BC＝?，?，则∠ABC＝
?22??22?________.
→→
BA·BC60° [cos∠ABC＝
→→|BA|·|BC|
1133－×＋×2222
＝
?－1?2＋?3?2×
?2??????2??1?2＋?3?2?2??????2?
1
＝，所以∠ABC＝60°.] 2
2．已知向量a＝(1，－1)，b＝(6，－4)．若a⊥(ta＋b)，则实数t的值为________． －5 [∵a＝(1，－1)，b＝(6，－4)，∴ta＋b＝(t＋6，－t－4)． 又a⊥(ta＋b)，则a·(ta＋b)＝0，即t＋6＋t＋4＝0，解得t＝－5.]
3．(广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测试卷)已知a，b均为单位向量，且(2a＋b)·(a－2b)＝33－， 则向量a，b的夹角为________.
2
【导学号：56394025】
π33 [向量a，b的夹角为θ，因为|a|＝|b|＝1，所以(2a＋b)·(a－2b)＝－3a·b＝－3cos θ＝－，62即cos θ＝
3π
，θ＝.] 26
4．(四川省凉山州2017届高中毕业班第一 次诊断性检测)设向量a＝(cos x，－sin x)，b＝
?－cos?π－x?，cos x?，且a＝tb，t≠0，则sin 2x的值等于________．
??2??????
??π??±1 [因为b＝?－cos?－x?，cos x?＝(－sin x，cos x)，a＝tb，所以cos xcos x－(－sin x)(－sin
??2??
kπππ
x)＝0，即cos2x－sin2x＝0，所以tan2x＝1，tan x＝±1，x＝＋(k∈Z)，2x＝kπ＋(k∈Z)，sin
2
4
2
2x＝±1.]
5．(河北唐山市2017届高三年级期末)设向量a与b 的夹角为θ，且a＝(－2,1)，a＋2b＝(2,3)，则cos θ＝________.
- 1 -
3a·b－4＋13－ [因为(a＋2b)－a＝2b＝(4,2)，所以b＝(2,1)，所以cos θ＝＝＝－.] 5|a||b|55×56．(天津六校2017届高三上学期期中联考)设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝________.
10 [因为a⊥b?a·b＝0?x－2＝0?x＝2，所以|a＋b|＝|(3，－1)|＝10. ]
→→7．(2017·江苏省无锡市高考数学一模)在△ABC中，已知AB＝1，AC＝2，∠A＝60°，若点P满足AP＝AB→→→
＋λAC，且BP·CP＝1，则实数λ的值为________．
→→→1
－或1 [△ABC中，AB＝1，AC＝2，∠A＝60°，点P满足AP＝AB＋λAC， 4→→→→→∴AP－AB＝λAC，∴BP＝λAC；
→→→→→→→→又CP＝AP－AC＝(AB＋λAC)－AC＝AB＋(λ－1)AC， →→→→→∴BP·CP＝λAC·[AB＋(λ－1)AC] →→→
2
＝λAC·AB＋λ(λ－1)AC
＝λ×2×1×cos 60°＋λ(λ－1)×2＝1， 12
整理得4λ－3λ－1＝0，解得λ＝－或λ＝1，
41
∴实数λ的值为－或1.]
4
→→
8．(天津六校2017届高三上学期期中联考)D为△ABC的边BC上一点，DC＝－2DB，过D点的直线分别交→→→→21
直线AB、AC于E、F，若AE＝λAB，AF＝μAC，其中λ＞0，μ＞0，则＋＝________.
2
λμ→2→1→→→→→2121
3 [因为AD＝AB＋AC＝mAE＋nAF＝mλAB＋nμAC(m＋n＝1)，所以mλ＝，nμ＝?＋＝3m＋3n3333λμ＝3.]
→
________．
9
－ [设A(a，b)，B(c，d)， 4→→
∵AC＝(1,2)，BD＝(－2,2)， ∴C(a＋1，b＋2)，D(c－2，d＋2)，
→
→
→
9．(2017·江苏省盐城市高考数学二模)已知平面向量AC＝(1,2)，BD＝(－2,2)，则AB·CD的最小值为
- 2 -
→→
则AB＝(c－a，d－b)，CD＝(c－a－3，d－b)， →→
2
∴AB·CD＝(c－a)(c－a－3)＋(b－d)
3?299?222
＝(c－a)－3(c－a)＋(b－d)＝?c－a－?－＋(b－d)≥－. 2?44?→→9
∴AB·CD的最小值为－.]
4
→→→→→→→→
10．(广东2017届高三上学期阶段测评(一) )已知向量AB，AC，AD满足AC＝AB＋AD，|AB|＝2，|AD|＝1，
→→→→5
E，F分别是线段BC，CD的中点，若DE·BF＝－，则向量AB与AD的夹角为________.
4→→→→→→
22→→→→→→πADABABAD5AD·AB55→→5
[DE＝AB－，BF＝AD－，∴DE·BF＝－－＋＝－＋AB·AD＝－. 322224244→→→→→→1π∴AB·AD＝1，cos〈AB，AD〉＝，∴AB与AD的夹角为.]
23
11．(2017·江苏省淮安市高考数学二模)如图4－8，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，→→→→
OC＝5，若AB·AD＝－7，则BC·DC的值是________.
【导学号：56394026】
图4－8
9 [平面四边形ABCD中，O为BD的中点， →→
且OA＝3，OC＝5，∴OB＋OD＝0； →→
若AB·AD＝－7，
→→→→→→→→→→→
2
则(AO＋OB)·(AO＋OD)＝AO＋AO·OD＋AO·OB＋OB·OD →→→→→22
＝AO＋AO·(OD＋OB)－OB →2
＝3－OB＝－7；
2
→2
∴OB＝16， →→
∴|OB|＝|OD|＝4；
- 3 -