第八章 空间解析几何与向量代数
一、空间直角坐标系，坐标面，坐标轴，投影坐标 8.3 点P(?1,4,2)在yoz面上的投影点为( )； A. Q(?1,4,2)
B. Q(?1,0,2)
C. Q(?1,4,0) D. Q(0,4,2)
解：在yoz面上，坐标x分量必为零，所以选D.
二、向量，方向角，模，向量运算，数量积，向量积
8.5设向量a与三个坐标面xoy,yoz,zox的夹角分别为?1,?2,?3（0??1,?2,?3???2），则
cos2?1?cos2?2?cos2?3?（ ）
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D); 3 解：由作图计算可知，cos2?1?cos2?2?cos2?3?2，所以选C。
????8.8 向量a?(1,?1,3)，b?(?3,1,2)，则a?b?( )；
A. 0
B. 1
C. 2
,?2) D. (?5,?11解：a?b??3?1?1?(?1)?2?3?2，所以选C。
????8.12 向量a?{1,0,3}，b?{1,?1,2}，则a?b?( )；
A. 6
B. ?6
C. {3,1,?1}
D. {3,?1,?1}
i解：a?b?1jk03?3i?j?k，所以选C。
1?128.16 a与b为两个向量，?为二者的夹角，则a?b?( ). (A) absin? (B) absin? (C) abcos? (D) abcos? 解：由定义，选D。 8.21 已知a?1,b?(A)
2，且a与b的夹角为
?，则a?b?( ). 45 (B) 1 (C) 2 (D) 1?2 222解：a?b?|a|?|b|?2|a|?|b|cos??5，所以，a?b?5，选A。
8.23 设a,b为非零向量，且a?b，则必有( ).
(A) a?b?a?b (B) a?b?a?b (C) a?b?a?b (D) a?b?a?b
解：因为a?b，所以由向量加法和减法平行四边形法则a?b?a?b，选C。 8.27 设a,b为非零向量，则a?b( )a?b. (A) ? (B) ? (C) ? (D) ?
解：因为a?b?|a|?|b|cos?，所以a?b?|a|?|b|?|cos?|?|a|?|b|，选B。 8.29 设向量a与三个坐标面xoy,yoz,zox的夹角分别为?1,?2,?3（0??1,?2,?3?则cos2?1?cos2?2?cos2?3? ; 解：cos2?1?cos2?2?cos2?3?2，所以填2。 8.30 设a= i+ j+k，b=2 i+3 j-4k，则a·b= 。 解：a?b?1?2?1?3?1?(?4)?1，所以填1。 8.31 设a=2 i+2j +2k，b=3j -4k，则a·b= 。 解：a?b?2?3?2?0?2?(?4)??2，所以填-2。
8.32 设向量a与三个坐标轴的正向的夹角分别为?,?,?，则
??2），
?cos2??cos2??cos2?? ;
解：cos2??cos2??cos2??1，所以填1。
?8.34 设向量a与三个坐标轴的正向的夹角分别为?,?,?，已知???4,???4,则
?? ???解：因为向量a与三个坐标轴的正向的夹角分别为?,?,?，??,??,
44??cos2??cos2??cos2??1，所以cos??0，??，所以填??。
228.35 向量a?3i?j?2k,b?i?2j?k,则(?2a)?b? 解：?2a??6i?2j?4k，所以(?2a)?b??6?1?2?2?4?(?1)??6，所以填?6。
????8.36向量a?{3,?1,2},b?{1,?1,1},则a?b? ；
i解：a?b?3jk?12?i?j?2k，所以填i?j?2k，或填{1,?1,?2}。 1?11
三、向量的平行、垂直等关系
8.2 设向量a?{2,?1,?10}，b?{4,?2,1}，则向量a与向量b的关系是( ). (A) 平行 (B) 斜交 (C) 垂直 (D) 不能确定 解：a?b?0，所以选C。
8.7 设a?{1,2,?3},b?{2,4,?}，且a//b，则??( )；
1010 (B) ? (C) ?6 (D) 6 3312?3解：因为a//b，所以??，所以选C。
24????8.10 已知向量a?b,a?{1,?1,4}，b?{2,m,?1}，则m?( )；
(A) A. 1
B. ?1
C. 2
D. ?2
解：因为a?b，所以a?b?2?m?4?0?m??2，所以选D。
四、空间曲面方程与图形
8.1在空间直角坐标系中，方程x?y?z?8表示的曲面是 ( ). (A) 球面 (B) 圆锥面 (C) 椭圆抛物面 (D) 椭球面 解：x?y?z?8为球面，所以选A。
222222x2y2?表示的曲面是( )； 8.4 在空间直角坐标系中, 方程z?94A. 椭圆抛物面 B. 双曲抛物面 C. 椭圆锥面 D. 椭球面
x2y2?为椭圆抛物面，所以选A。 解：z?948.6 在空间直角坐标系中，方程z?x?y表示的曲面是 ( ).
(A) 双曲抛物面 (B) 旋转抛物面 (C) 椭圆抛物面 (D) 圆锥面 解：z?x?y为圆锥面，所以选D。
8.9 空间直角坐标系中，方程x?y?R表示的图形是( )；
222222222