第18讲 相似三角形
重难点 相似三角形的性质与判定
(2018·包头)如图，在?ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，5
3AE＝2EB，连接DF.若S△AEF＝1，则S△ADF的值为．
2
【思路点拨】 要求S△ADF，由已知条件EF∥BC，3AE＝2BE，可得到AF与AC的数量关系，进而转换到S△ADF与S△ADC
的数量关系，而由平行四边形的性质知，S△ADC ＝ S△ABC，由EF∥BC，3AE＝2BE，S△AEF＝1，结合相似三角形的性质，得S△ABC，则S△ADF即可求出．
方法指导求三角形面积常用方法
?直接法???
?等积法
???????等比法?
????
1
S△＝ah
2
S1＝S2
（等底同高）
（同底等高）
S1a（同高 ＝
S2b不同底）
（不同高不同底）
如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，连接BE，AF⊥BE于点F，连接DF.
(1)求证：DE＝ BE·EF； (2)求∠EFD的度数．
AEEF22
【思路点拨】 (1)要证DE＝EF·BE，而由已知条件知DE＝AE，∴AE＝EF·BE，即＝，观察发现，这四
BEAE条边恰好在△ABE和△FAE中，故只需证明△ABE∽△FAE，由相似三角形的性质即可使问题得证；(2)要求∠EFD的AEEF
度数，而已知条件中并未告诉已知角，故要在正方形中构造已知角并将∠EFD进行转换．由(1)知＝，而∠DEFBEAE＝∠BED，故连接BD，可证△DEF∽△BED，由相似三角形的性质即可求出∠EFD的度数．
1
2
【自主解答】 解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAE＝90°. ∵AF⊥BE，∴∠AFE＝90°.∴∠BAE＝∠AFE. 又∠AEF＝∠AEB，∴△AEF∽△BEA. ∴
AEEF2
＝，即AE＝BE·EF. BEEA
∵E为AD的中点，∴AE＝DE.
2
∴DE＝BE·EF.
(2)连接BD，则∠EDB＝45°. DEBE
由(1)得，＝.
EFDE又∠DEF＝∠BED， ∴△DEF∽△BED.
∴∠EFD＝∠EDB＝45°. 方法指导
1．判定三角形相似的思路
?有一对另一对等角
?等角，找两夹边对应成比例?有两边?夹角相等
?
第三边也对应成比例?对应成?
比例，找??有一对直角 ?
直角三一对锐角相等
?角形，找斜边、直角边对应成比例?等腰三?顶角相等
?
?一对底角相等?角形，找?
??底和腰对应成比例
??
????????
有平行线——用平行线的性质，找等角
2．证明等积时，先由比例的基本性质，化等积式为比例式，然后把比例式，左侧(或分子)，右侧(或分母)放
入两个三角形中，证明两个三角形相似即可，如不能放入两个三角形中，可找到相等边代换或寻找中间比．
3．求某个三角的边长或角度时，可借助条件，确定未知三角形(即包含所求边又有某个已知条件)与已知三角形相似，利用相似三角形的性质求解．
考点1 比例线段
ab
1．(2018·白银)已知＝(a≠0，b≠0)，下列变形错误的是(B)
23
A.＝ B．2a＝3b C.＝ D．3a＝2b
abc
2．(2018·成都)已知＝＝，且a＋b－2c＝6，则a的值为12.
654
考点2 黄金分割
ACBC
3．如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝，那么称线段AB被点C黄金分割，AC与AB的比叫做
ABAC黄金比，其比值是(A)
2
a2b3b3a2
5－13－55＋13＋5A. B. C. D.
2222
考点3 平行线分线段成比例 4．(2018·哈尔滨)如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交GD于点F，则下列结论一定正确的是(D)
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
ABAGAEADDFDGCFADFGEGACBDAECFBEDF
5．(2018·嘉兴)如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F.AB1EF
已知＝，则＝2．
AC3DE
考点4 相似三角形的性质
6．(2018·重庆A卷)要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5 cm，6 cm和9 cm，另一个三角形的最短边长为2.5 cm，则它的最长边为(C)
A．3 cm B．4 cm C．4.5 cm D．5 cm 7．(2017·连云港)如图，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝1∶2，则下列等式一定成立的是(D)
A.＝ B.C.
BC1DF2∠A的度数1
＝
∠D的度数2
△ABC的面积1△ABC的周长1
＝ D.＝
△DEF的面积2△DEF的周长2
8．(2018·荆门)如图，四边形ABCD为平行四边形，E，F为CD边的两个三等分点，连接AF，BE相交于点G.则S△EFG∶S△ABG
＝(C)
A．1∶3 B．3∶1 C．1∶9 D．9∶1
3