(1)求证：△BDE∽△CAD；
(2)若AB＝13，BC＝10.求线段DE的长．
解：(1)证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C.
又∵AD为BC边上的中线， ∴AD⊥BC， ∵DE⊥AB，
∴∠BED＝∠CDA＝90°. ∴△BDE∽△CAD.
(2)∵BC＝10，∴BD＝5.
根据勾股定理，得AD＝AB－BD＝12. ∵△BDE∽△CAD， ∴
BDDE5DE＝，∴＝. CAAD1312
2
2
60∴DE＝.
13
考点6 相似三角形的实际应用
17．(2018·义乌)学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD.垂足分别为B，D，AO＝4 m，AB＝1.6 m，CO＝1 m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为(C)
A．0.2 m B．0.3 m C．0.4 m D．0.5 m
18．(2018·陕西)周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C，A共线．
已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1 m，DE＝1.5 m，BD＝8.5 m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB.
解：∵CB⊥AD，ED⊥AD， ∴∠CBA＝∠EDA＝90°.
∵∠CAB＝∠EAD，∴△ABC∽△ADE. ADDE∴＝. ABBC
5
∴
AB＋8.51.5
＝. AB1
∴AB＝17，即河宽为17 m.
19．(2018·泸州)如图，在正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G.若AE＝3ED，DF＝CF，则
AG
的值是(C) GF
4567A. B. C. D. 3456
20．(2018·扬州)如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE，AE分别交于
2
点P，M.对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP·MD＝MA·ME；③2CB＝CP·CM.其中正确的是(A)
A．①②③ B．① C．①② D．②③
21．(2018·盐城)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，P，Q分别为边BC，AB上的两个动点．若要使1530
△APQ是等腰三角形，且△BPQ是直角三角形，则AQ＝或．
47
22．(2018·咸宁)定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似(不全等)，我们把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．
理解：(1)
如图1，已知Rt△ABC在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D.使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形；(保留画图痕迹，找出3个即可)
图1
6
图2 图3
(2)如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝80°，∠ADC＝140°，对角线BD平分∠ABC.求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”；
运用： (3)如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∠EFH＝∠HFG＝30°，连接EG.若△EFG的面积为23，求FH的长．
解：(1)如图所示．
(2)证明：∵∠ABC＝80°，BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC＝40°.∴∠A＋∠ADB＝140°. ∵∠ADC＝140°，∴∠BDC＋∠ADB＝140°. ∴∠A＝∠BDC. ∴△ABD∽△DBC.
∴BD是四边形ABCD的“相似对角线”． (3)∵FH是四边形EFGH的“相似对角线”， ∴△EFH∽△HFG.
∴FEFH＝. FHFG
2
∴FH＝FE·FG.
过点E作EQ⊥FG，垂足为Q. ∵∠EFH＝∠HFG＝30°， ∴∠EFQ＝60°. 则EQ＝FE·sin60°＝
3
FE. 2
113
∵FG·EQ＝23，∴FG×FE＝23. 222∴FG·FE＝8. 2
∴FH＝FE·FG＝8. ∴FH＝22.
23．(2018·泰安)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”
用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步(“步”是古代的长度单位)的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步A的处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木(即2 000点D在直线AC上)？请你计算KC的长为步．
3
7