因而a5?a2k1111111,a6?0,a7??，a8?0,a9?,......也即a2k?1??2!63！4!k(k?1)!k! ?0对一切正整数k成立。将ai(i?0,1,2...)的值代回3x5x2k?1?x?x??...??...2!k!x4x2k2?x(1?x??...??...)②即得y 2!k!?xex2
三、证明 1
、
证
明
：
用
反
证
法
：
假
设
存
在
?c1x1(t0)?c2x2(t0)?...?cnxn(t0)?0?????c1x1(t0)?c2x2(t0)?...cnxn(t0)?0t0?[a,b],使得w(t0)?0,考虑关于c1,c2......cn的线性方程组：??..........................................................?cxn?1(t)?cx(n?1)(t)?...cx(n?1)(t)?00220nn0?11其系数行列式w(t0)?0,故它就有非零解：c1，c2,...cn.构造函数x(t)??cixi(t),t?[a,b]i?1ndnx(n?1)由叠加原理，x(t)为n?......?an(t)x?0的解，且满足初始条件：x(t0)?x?(t0)?......?xn(t0)?0dt又
?(n?1)x?0也是齐次方程的解，并且也满足x(t0)?x(t0)?......?x(t0)?0.由解的存在惟一性定理知：x(t)?x(t)?0,t?[a,b],即c1x1(t)?c2x2(t)?......?cnxn(t)?0,t?[a,b].其中c1,c2......cn不全为零，亦即x1(t),x2(t)......xn(t)在[a,b]上线性相关，矛盾。所以w(t)?0.dnxdn?1xdx2、证明：n?a1(t)n?1?......an?1(t)?an(t)x?f(t) A
dtdtdt 设
x1(t),x2(t)......xn(t)为A对应的齐线性方程的一个基本解组。x(t)是A的一个解，则x1(t)?x(t),x2(t)?x(t)......,xn(t)?x(t),x(t)①
均为A的解。同时，①是线性无关的。事实上，假设存在常数
c1,c2,......cn?1,使得c1(x1(t)?x(t))?c2(x2(t)?x(t))?......?cn(xn(t)?x(t))?cn?1x(t)?0.即?cixi(t)?x(t)?ci?0,我们说，?ci?0,否则，若?ci?0,则有i?1i?1i?1i?1nn?1n?1n?1
x(t)???i?1nci?ci?1n?1xi(t) ②
i②的坐端为非齐线性方程的解，右端为齐线性方程的解，矛盾。从而有
?cx(t)?0，又x(t)(i?1,2......n)为齐线性方程的基本解组，故有
iinii?1 c1?c2?......cn?0.进而有cn?1?0,即①是线性无关的。