2019年
【2019最新】精选高考数学一轮复习第八章立体几何8
时间：45分钟
基础组
1.[2016·枣强中学猜题]若直线l的方向向量为a＝(1，－1，2)，平面α的法
向量为u＝(－2,2，－4)，则( )
B．l⊥α D．l与α斜交
A．l∥α C．l?α 答案 B
解析 因为直线l的方向向量a＝(1，－1,2)与平面α的法向量u＝(－2,2，－
4)共线，则说明了直线与平面垂直，故选B.
2．[2016·衡水中学期中]正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且
＝，N为B1B的中点，则||为( ) B.a D.a
A.a C.a 答案 A
→
解析 ＝＋＋BN
→
＝－＋＋BN
→
1
＝－(＋＋)＋＋2AA1
＝＋－，
∴||＝?2→1→1→??AB＋AA1－AD?2
63??3
＝＝a.
3．[2016·武邑中学期中]平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向
量为(2，－1,0)，则平面α和平面β的位置关系是( )
B．相交但不垂直
D．重合
A．平行 C．垂直
2019年
答案 C
解析 由(1,2,0)·(2，－1,0)＝1×2＋2×(－1)＋0×0＝0，知两平面的法向量
互相垂直，所以两平面互相垂直．
4．[2016·衡水中学期末]如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，
CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( )
B.3 D.5 35
A. C. 答案 A
解析 设CB＝1，则CA＝CC1＝2，
故B(0,0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,1)，
则＝(0,2，－1)，＝(－2,2,1)，
cos〈，〉＝＝＝，
即直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.故选A.
5.[2016·冀州中学猜题]如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是
AB，B1C的中点，则EF和平面ABCD所成角的正切值为( )
B.2 D．2
2
A. C. 答案 B
解析 如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则点C(0,1,0)，
? D1(0,0,1)，B1(1,1,1)，F，E，＝??－2，2，2???
→111
＝(0,0,1)为底面的一个法向量，DD1
cos〈，〉＝＝＝，
所以EF和平面ABCD所成角θ的正弦值为
sinθ＝，∴tanθ＝＝.故选B.
6．[2016·武邑中学仿真]过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB
＝PA，则平面ABP与平面CDP所成的锐二面角为( )
B．45° D．90°
A．30° C．60°
2019年
答案 B
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，
设AB＝PA＝1，知A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1)
由题意得，AD⊥平面ABP，设E为PD的中点，
连接AE，则AE⊥PD，
又∵CD⊥平面PAD，∴AE⊥CD， 又PD∩CD＝D，∴AE⊥平面CDP.
∴＝(0,1,0)，＝分别是平面ABP、平面CDP的法向量，而〈，〉＝45°，
∴平面ABP与平面CDP所成的锐二面角为45°.
7．[2016·衡水中学模拟]若平面α的一个法向量为n＝(4,1,1)，直线l的一个
方向向量为a＝(－2，－3,3)，则l与α所成角的正弦值为________．
答案
411
33
解析 设l与α所成角为θ， 则sinθ＝|cos〈n，a〉|＝＝＝.
8．[2016·冀州中学期中]已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的
正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是________．
答案
4
3
解析 如图建立空间直角坐标系D－xyz，
则A1(2,0,4)，A(2,0,0)，B1(2,2,4)，D1(0,0,4)，
→
＝(－2,0,4)，＝(0,2,4)，＝(0,0,4)，AD1 设平面AB1D1的法向量为n＝(x，y，z)，
??－2x＋4z＝0，
则即?
?2y＋4z＝0，?
解得x＝2z且y＝－2z， 不妨设n＝(2，－2,1)，
设点A1到平面AB1D1的距离为d.
则d＝＝.
9．[2016·衡水中学仿真]已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC
＝2，AA1＝4，D是棱AA1的中点．如图所示．