人教版高中数学 空间几何体的表面积和体积
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能够熟练运用柱、锥、台、球的表面积和体积公式计算一些组合体的表面积和体积； 用联系、类比的方法解决一些有关空间几体的实际问题．
一、展开图定义
一些简单的多面体可以沿着多面体的某些棱将它剪开而成平面图形，这个平面图形叫做该多面体的平面展开图． 二、特殊几何体的定义
1.直棱柱：__________的棱柱叫做直棱柱． 2.正棱柱：__________的直棱柱叫做正棱柱．
3.正棱锥：底面是_________，并且顶点在底面的_______是底面的中心的棱锥叫正棱锥． 正棱锥的性质： （1）正棱锥的侧棱相等； （2）侧面是全等的等腰三角形； （3）侧棱、高、底面构成直角三角形．
4.正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分角正棱台． 正棱台的性质：
（1）正棱棱台的侧棱长相等 （2）侧面是全等的等腰三角形；
（3）高，侧棱，上、下底面的边心距构成直角梯形． 三、侧面积与表面积公式
1. 正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积与表面积公式
(1)设直棱柱高为h，底面多边形的周长为c，则直棱柱侧面积计算公式：S直棱柱侧＝ch，即直棱柱的侧面积等于它的______和___的乘积．
(2)设正n棱锥的底面边长为a，底面周长为c，斜高为h′，则正n棱锥的侧面积的计算公式：
1
S正棱锥侧＝
= .即正棱锥的侧面积等于它的_____和____乘积的一半．
(3)设正n棱台下底面边长为a、周长为c，上底面边长为a′、周长为c′，斜高为h′，则正n棱台的侧面积公式：S正棱台侧＝ = .
(4)棱柱、棱锥、棱台的表面积(或全面积)等于底面积与侧面积的和，即S表＝_______＋_____. 2. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积公式 (1)S圆柱侧＝ (r为底面半径，l为母线长)． (2)S圆锥侧＝ (r为底面圆半径，l为母线长)．
(3)S圆台侧＝ (R、r分别为上、下底面半径，l为母线长)．
(4)圆柱、圆锥、圆台的表面积等于它的侧面积与底面积的和，即S表＝S底＋S侧. (5) 若圆锥底面的半径为r，侧面母线长为l，侧面展开图扇形的圆心角为?则， ??r360 l3.由球的半径R计算球表面积的公式：S球＝ .即球面面积等于它的大圆面积的4倍． 四、体积 1.长方体的体积：
长方体的长、宽和高分别为a、b、c，长方体的体积V长方体＝_____. 2．棱柱和圆柱的体积：
(1)柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它的底面积S和高h的积，即V柱体＝____. (2)底面半径是r，高是h的圆柱体的体积计算公式是V圆柱＝ . 3．棱锥和圆锥的体积：
(1)如果一个锥体(棱锥、圆锥)的底面积为S，高是h，那么它的体积V锥体＝ h. (2)如果圆锥的底面半径是r，高是h，则它的体积是V圆锥＝ . 4．棱台和圆台的体积：
(1)如果台体的上、下底面面积分别为S′、S，高是h，则它的体积是V台体＝ . (2)如果圆台的上、下底面半径分别是r′、r，高是h，则它的体积是V圆台＝ . 5．球的体积：
如果球的半径为R，那么球的体积V球＝ . 6．祖暅原理：幂势既同，则积不容异．
这就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．应用祖暅原理可说明：等______、等______的两个柱体或锥体的体积相等．
7. 球面距离：在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的______在这两点间的一段劣弧的长度．我们把这个弧长叫做两点的球面距离．
类型一 表面积 例1：(2014·江西九江三中高一月考)已知正四棱台的上、下底面边长分别为3和6，其侧面积等于两底面面积之和，则该正四棱台的高是( )
5
A．2 B.
2
2
7
C．3 D.
2
练习1：某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是( )
A．32 C．48
B．16＋162 D．16＋322
练习2：若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是( )
A．3π B．33π C．6π D．9π 练习3：3．(2014·甘肃天水一中高一期末测试)球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是( )
ππA. B. 34πC. D．π 2例2：(2014·陕西宝鸡园丁中学高一期末测试)用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱的轴截面面积为( )
8
A．8 B. π
42C. D. ππ
练习1：(2014·浙江理，3)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( ) A．90cm2 B．129cm2 C．132cm2 D．138cm2 练习2：(2014·河南洛阳高一期末测试)已知圆锥的表面积为12πcm2，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为( )
A.3cm
B．2cm
C．23cm D．4cm
练习3：(2014·浙江理，3)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( )
A．90cm2 B．129cm2 C．132cm2 D．138cm2
练习4：(2014·陕西汉中市南郑中学高一期末测试)长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是________． 类型二 体积 例3：(2014·江西九江三中高一月考)正三棱锥底面三角形的边长为3，侧棱长为2，则其体积为
( )
3