第2节 不等式的证明
最新考纲 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法.
知 识 梳 理
1.均值不等式
定理1：如果a，b∈R，那么a＋b≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立. 定理2：如果a，b>0，那么
2
2
a＋b2
≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立，即两个正数的算术
平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均.
定理3：如果a，b，c∈R＋，那么2.不等式的证明方法 (1)比较法
a＋b＋c3
3≥abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立.
①作差法(a，b∈R)：a－b>0?a>b；a－b<0?a ①综合法：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立.综合法又叫顺推证法或由因导果法. ②分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法. 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)比较法最终要判断式子的符号得出结论.( ) (2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论.( ) (3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.( ) (4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用.( ) ababab 1 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× 11 2.若a>b>1，x＝a＋，y＝b＋，则x与y的大小关系是( ) abA.x>y B.x 1?1? 解析 x－y＝a＋－?b＋? a?b? b－a（a－b）（ab－1） ＝a－b＋＝. abab由a>b>1得ab>1，a－b>0， （a－b）（ab－1） 所以>0，即x－y>0，所以x>y. ab答案 A 3.(教材习题改编)已知a≥b>0，M＝2a－b，N＝2ab－ab，则M，N的大小关系为________. 解析 2a－b－(2ab－ab)＝2a(a－b)＋b(a－b)＝(a－b)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b). 因为a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0， 从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，故2a－b≥2ab－ab. 答案 M≥N 11 4.已知a>0，b>0且ln(a＋b)＝0，则＋的最小值是________. 3 3 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 ab解析 由题意得，a＋b＝1，a>0，b>0， 11?11?ba∴＋＝?＋?(a＋b)＝2＋＋≥2＋2ab?ab?ababba1 ·＝4.当且仅当a＝b＝时等号成立. ab2 11 ∴＋的最小值是4. 答案 4 5.已知x>0，y>0，证明：(1＋x＋y)(1＋x＋y)≥9xy. 证明 因为x>0，y>0， 323232322222 所以1＋x＋y≥3xy>0，1＋x＋y≥3xy>0，故(1＋x＋y)(1＋x＋y)≥3xy·3xy＝9xy. 考点一 比较法证明不等式 【例1－1】 (2017·江苏卷)已知a，b，c，d为实数，且a＋b＝4，c＋d＝16.试证明： 2 2 2 2 2 2 2 ac＋bd≤8. 证明 ∵(a＋b)(c＋d)－(ac＋bd) ＝ac＋ad＋bc＋bd－(ac＋bd＋2acbd) ＝bc＋ad－2acbd＝(bc－ad)≥0， ∴(a＋b)(c＋d)≥(ac＋bd)， 又a＋b＝4，c＋d＝16. 因此(ac＋bd)≤64，从而ac＋bd≤8. 【例1－2】 (一题多解)已知a>0，b>0，求证：证明 法一 因为3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 22 2 22 22 22 22 22 22 2 2 2 2 2 ab＋≥a＋b. baab＋－(a＋b) ba3 （a）＋（b）－（a＋b）ab＝ ab（a＋b）（a－b）＝， 2 ab（a＋b）（a－b）∵a>0，b>0，∴>0. 2 abab＋≥a＋b. baab＋baaa＋bb法二 由于＝ a＋bab（a＋b） 因此 （a＋b）（a－ab＋b） ＝ ab（a＋b） ＝ a＋b2ab－1≥－1＝1. abab又a>0，b>0，ab>0， 所以 ab＋≥a＋b. ba规律方法 1.作差(商)证明不等式，关键是对差(商)式进行合理的变形，特别注意作商证明不等式，不等式的两边应同号. 2.在例1－2证明中，法一采用局部通分，优化了解题过程；在法二中，利用不等式的性质，把证明a>b转化为证明>1(b>0). 3 ab