上海大学2013 ~ 2014学年冬季学期《微积分A2》(A卷)答案
一、单项选择题 (5小题, 每小题3分, 共15分)
1. 设
sinxf(ax)为f(x)的一个原函数, 且常数a?0, 则?dx?( A ). xasinaxsinaxsinaxsinax B． C． D．?C?C?C?C
a3xa2xaxx A．
2. 设直线L:??x?3y?2z?1?0,及平面π:4x?2y?z?2?0, 则直线L( C ).
?2x?y?10z?3?0π20A．平行于π B．在π上 C．垂直于π D．与π斜交 3. 设f(x)是区间[0,1]上连续函数, 且
?10f(x)dx?2, 则?f(cos2x)sin2xdx?
D．4
( B ). A．1
4. 曲线y?A．
B．2
C．3
121x?lnx自x?1至x?e之间的一段弧的弧长s?( C ). 4212111(e?2) B．(1?e2) C．(e2?1) D．(e2?1) 44445. 设向量a,b满足a?b?a?b, 则必有( D ). A．a?b?0
B．a?b?0 C．a?b?0
D．a?b?0
二、填空题 (5小题, 每小题3分, 共15分)
6.
dx2sin(x?t)dt?dx?023sinx2.
7. 由不等式x?y?x及x?2所确定的平面图形的面积为8. 设a?(b?c)?1, 则(b?c)?[(c?a)?(a?b)]?9.
1712.
2.
?xdxx?12?1?arcsin?Cx.
?x2?y2?z2?4,10. 曲线?在yOz平面上的投影曲线是
?y?z
?y?z,(y?2).??x?0,.
三、计算题 (4小题, 每小题6分, 共24分)
11. (6分) 计算
?1x(1?x)x?tdx.
解:
?1x(1?x)dx????11?2tdt?2?dt ---------------------(3分) t1?t1?t??41?t?C??41?x?C. ---------------------(2+1分)
12. (6分) 计算?ln(x2?4)x2dx. 解: ?ln(x2?4)x2dx???ln(x2?4)d??1??x?? ????ln(x2?4)12x??x??x?x2?4dx?? ??ln(x2?4)x??1?2d??x?? ?x??2???1?2??ln(x2??4)x?arctanx2?C.
13. (6分) 计算?20x2x?x2dx.
解:
?22x?x2dx??20x0x1?(1?x)2dx
????1?x?t?1?1(1?t)1?t2dt
??1212?11?tdt???1t1?tdt
?π2?0 ?π2.
---------------------(2分) ---------------------(2分) ---------------------(1分) ---------------------(1分) ---------------------(2分) ---------------------(2分) ---------------------(1+1分)
14. (6分) 计算
??3???31dx.
(x?7)x?2解:
?x?2?t????111dx???????2tdt?2dt ---------------(2分) 22?11(t?9)?tt?9(x?7)x?2 ?2??3?1?t?d?? ---------------------(2分) 2?t??3?1????3???12t ?arctan ---------------------(1分)
331 ?2?t1?limarctan?arctan?t???? 3?33?2?π1??arctan??. ---------------------(1分) 3?23? ?
四、计算题 (4小题, 每小题6分, 共24分)
15. (6分) 已知函数f(x)连续, 且满足f(x)?3?x解: 令
?10f2(x)dx, 求f(x).
?10f2(x)dx?a, 则f(x)?3?ax,
---------------------(1分)
由a??10f2(x)dx??(3?ax)2dx
02111??a??(9?6ax?a2x2)dx??9x?3ax2?x3? 03?0?a2?9?3a?,
3 解得a?3,a?9,
---------------------(2分)
---------------------(2分)
---------------------(1分)
所以f(x)?3?3x或f(x)?3?9x.
16. (6分) 设a?3b和7a?5b垂直, a?4b和7a?2b垂直, 求非零向量a与b的夹角.
解: 由(a?3b)?(7a?5b)得
(a?3b)?(7a?5b)?7a?16a?b?15b?0; (1) ---------------------(1分)
22