学案9 幂函数
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导学目标： 1.了解幂函数的概念.2.结合函数y＝x，y＝x，y＝x，y＝，y＝x的图x2
象，了解它们的变化情况．
自主梳理
1．幂函数的概念
形如______的函数叫做幂函数，其中____是自变量，____是常数． 2．幂函数的性质
(1)五种常见幂函数的性质，列表如下： 定义域 值域 奇偶性 单调性 过定点 y＝x R R 奇 ↗ [0，＋∞)↗ y＝x2 R [0，＋∞) 偶 (－∞，0]↙ 3y＝x R R 奇 ↗ (1,1) 1非奇 [0，＋∞) [0，＋∞) [0，＋∞)↗ y＝x2 非偶 (－∞，0) (－∞，0) (－∞，0)↙ y＝x－1 奇 ∪(0，＋∞) ∪(0，＋∞) (0，＋∞)↙ (2)所有幂函数在________上都有定义，并且图象都过点(1,1)，且在第____象限无图象． (3)α>0时，幂函数的图象通过点________________，并且在区间(0，＋∞)上是________，α<0时，幂函数在(0，＋∞)上是减函数，图象________原点．
自我检测
n1．(2011·石家庄月考)如图中曲线是幂函数y＝x在第一象限的图象．已知n取±2，1±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为
2( )
11
A．－2，－，，2
2211
B．2，，－，－2
2211C．－，－2,2， 2211
D．2，，－2，－
22
x－1
2．已知函数：①y＝2；②y＝log2x；③y＝x；④y＝x.则下列函数图象(在第一象
限部分)从左到右依次与函数序号的正确对应顺序是 ( )
12
A．②①③④ C．④①③②
B．②③①④ D．④③①②
1α
3．(2011·沧州模拟)设α∈{－1,1，，3}，则使函数y＝x的定义域为R且为奇函
2
数的所有α值为 ( )
A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3
4．与函数y＝A．y＝2 5．已知点(
xxx＋1
的图象形状一样的是
( )
B．y＝log2x
1
C．y＝
xD．y＝x＋1
3
，33)在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式是 3
B．f(x)＝x D．f(x)＝x?12－3
( )
3
A．f(x)＝x C．f(x)＝x
12
探究点一 幂函数的定义与图象
1
例1 已知幂函数f(x)的图象过点(2，2)，幂函数g(x)的图象过点(2，)．
4
(1)求f(x)，g(x)的解析式；
(2)求当x为何值时：①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x) 1 变式迁移1 若点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，)在幂函数g(x)的图象上， 4 ??f(x)，f(x)≤g(x)， 定义h(x)＝? ??g(x)，f(x)>g(x)， 试求函数h(x)的最大值以及单调区间． 探究点二 幂函数的单调性 例2 比较下列各题中值的大小． (1)30.8，30.7；(2)0.213，0.233； (3)2，1.8；(4)4.1，3.8121325?23和(?1.9). 35 变式迁移2 (1)比较下列各组值的大小： 1①?8________?()3； 9?131②0.2________0.4. 1.3m0.7m(2)已知(0.7)<(1.3)，则m的取值范围是__________________________． 探究点三 幂函数的综合应用 例3 (2011·葫芦岛模拟)已知函数f(x)＝x在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a?1) ?m3 0.50.3 m2?2m?3?m3(m∈N)的图象关于y轴对称，且 * <(3?2a)的a的范围． 变式迁移3 已知幂函数f(x)＝x(m∈N) (1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性； (2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围． * (m2?m)?1 1．幂函数y＝x(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准． 2．在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． α (满分：75分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．右图是函数y＝x( ) mn* (m，n∈N，m、n互质)的图象，则