课时跟踪训练(五十二)
[基础巩固]
1
．
若抛物线y＝2px的焦点与双曲线
2
一、选择题
x23
－y2＝1的右焦点重合，则p的值为( )
A．－4 B．4 C．－2 D．2
?p?
[解析]抛物线的焦点坐标为?，0?，
?2?
由双曲线的方程可知a2＝3，b2＝1，
所以c2＝a2＋b2＝4，即c＝2，
p
所以右焦点为(2,0)，所以＝2，p＝4.
2
[答案]B
2．(2018·广东湛江一中等四校第二次联考)抛物线y2＝2px上横坐标为4的点
到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为( )
2
A．4 B．9 C．10 D．18
pp?p?[解析]抛物线y＝2px的焦点为?，0?，准线为x＝－.由题意可得4＋＝9，
22?2?
解得p＝10，所以该抛物线的焦点到准线的距离为p＝10.
3．(2016·全国卷
Ⅱ
2
[答案]C
kx
)设F为抛物线C：y＝4x的焦点，曲线y＝
(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝( )
13
A. B．1 C. D．222
[解析]抛物线C的焦点坐标为F(1,0)，PF⊥x轴，∴xP＝xF＝1.又∵y2P＝4xP，
∴y2P＝4.∵yP＝(k>0)，∴yP＝2，∴k＝xPyP＝2.故选D.
xP
4．(2017·全国卷
Ⅱ
[答案]D
3
⊥
k
)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为
的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN
A.
l，则M到直线NF的距离为( )
2 C．2
3 D．3
3
5 B．2[解析] 解法一：依题意，得F(1,0)，则直线FM的方程是y＝错误!得
3(x－1)．由
x＝错误!或x＝3.由M在x轴的上方，得M(3,2错误!)，由MN⊥l，得|MN|＝
|MF|＝3＋1＝4，又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF
3
是边长为4的等边三角形，点M到直线NF的距离为4×＝2
2
2
3，选C.
解法二：依题意，得直线FM的倾斜角为60°，则|MN|＝|MF|＝
＝1－cos60°
4，又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是边长为4
3
的等边三角形，点M到直线NF的距离为4×＝22
3，选C.
[答案] C
5．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且在第
一象限，PA⊥l，垂足为A，|PF|＝4，则直线AF的倾斜角等于( )
7π2πA. B.1233π5πC. D.463)，所以A点坐标为
[解析]由抛物线定义知|PF|＝|PA|，∴P点坐标为(3，2
(－1,2
π2
3)，AF与x轴夹角为，所以直线AF的倾斜角为π，选B.
33
[答案]B
6．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为
直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x
?p?
[解析]由已知得抛物线的焦点F?，0?，设点A(0,2)，抛物线上点M(x0，y0)，
?2?
→?p→→0?→?y2?
则AF＝?，－2?，AM＝?，y0－2?.由已知得，AF·AM＝0，即y20－8y0＋16＝
?2??2p?
?8?
0，因而y0＝4，M?，4?.由|MF|＝5得，
?p??8p?
?－?2＋16＝5，又p>0，解得p?p2?
＝2或p＝8，故选C.
[答案]C