第一章 概率论的基本概念练习题
1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件A,B,C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件A,B,C中的样本点。
2. 在掷两颗骰子的试验中，事件A,B,C,D分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件
AB,A?B,AC,BC,A?B?C?D中的样本点。
3. 以A,B,C分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用A,B,C表示以下事件：
（1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。
4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件A1,A2,A3分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：A2, A2?A3, A1A2, A1?A2, A1A2A3, A1A2?A2A3?A1A3. 5. 设事件A,B,C满足ABC??，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：
A?B?C，AB?C，B?AC.
6. 若事件A,B,C满足A?C?B?C，试问A?B是否成立？举例说明。 7. 对于事件A,B,C，试问A?(B?C)?(A?B)?C是否成立？举例说明。
P(A)?1P(B)?12，试就以下三种情况分别求P(BA)： 3，8. 设
P(AB)?18. （1）AB??， （2）A?B， （3）
P(A)?P(B)?P(C)?1P(AC)?P(BC)?1P(AB)?04，16，9. 已知求事件A,B,C全
不发生的概率。
10. 每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率：A?“三个都是红灯”=“全红”； B?“全绿”； C?“全黄”； D?“无红”； E?“无绿”； F?“三次颜色相同”； G?“颜色全不相同”；
H?“颜色不全相同”。
11. 设一批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中任意抽取3件（分三种情况：一次拿3件；每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次），试求：
（1）（1）取出的3件中恰有1件是次品的概率； （2）（2）取出的3件中至少有1件是次品的概率。
12. 从0,1,2,?,9中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率：
A1??三个数字中不含0与5?，A2??三个数字中不含0或5?。
13. 从0,1,2,?,9中任意选出4个不同的数字，计算它们能组成一个4位偶数的概率。 14. 一个宿舍中住有6位同学，计算下列事件的概率： （1）6人中至少有1人生日在10月份；
（2）6人中恰有4人生日在10月份； （3）6人中恰有4人生日在同一月份；
15. 从一副扑克牌（52张）任取3张（不重复），计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。
16. 假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%、10%，从中任取一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率。
17. 设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取2件产品中有1件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。
18. 为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统I和II。两种报警系统单独使用时，系统I和II有效的概率分别0.92和0.93，在系统I失灵的条件下，系统II仍有效的概率为0.85，求
（1）（1）两种报警系统I和II都有效的概率； （2）（2）系统II失灵而系统I有效的概率；
（3）（3）在系统II失灵的条件下，系统I仍有效的概率。
19. 设0?P(A)?1，证明事件A与B独立的充要条件是
20. 设事件A与B相互独立，两个事件只有A发生的概率与只有B发生的概率都是
P(B|A)?P(B|A)
14，求P(A)和P(B).
21. 证明 若P(A)>0，P(B)>0，则有
（1） （1） 当A与B独立时，A与B相容； （2） （2） 当A与B不相容时，A与B不独立。
22. 已知事件A,B,C相互独立，求证A?B与C也独立。 23. 甲、乙、丙三机床独立工作，在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别为0.7，0.8和0.9，求在这段时间内，最多只有一台机床需要工人照顾的概率。
24. 如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为p(0?p?1)，（称为元件的可靠性），假设各元件能否正常工作是相互独立的，计算下面各系统的可靠性。
系统II 系统I
1 2 n n+1 1 n+2 2 2n n n+1 n+2 2n 25. 10张奖券中含有4张中奖的奖券，每人购买1张，求 （1）（1）前三人中恰有一人中奖的概率； （2）（2）第二人中奖的概率。
26. 在肝癌诊断中，有一种甲胎蛋白法，用这种方法能够检查出95%的真实患者，但也有可能将10%的人误诊。根据以往的记录，每10 000人中有4人患有肝癌，试求：
（1）某人经此检验法诊断患有肝癌的概率；
（2）已知某人经此检验法检验患有肝癌，而他确实是肝癌患者的概率。
27. 一大批产品的优质品率为30%，每次任取1件，连续抽取5次，计算下列事件的概
率：
（1）取到的5件产品中恰有2件是优质品；
（2） 在取到的5件产品中已发现有1件是优质品，这5件中恰有2件是优质品。 28. 每箱产品有10件，其次品数从0到2是等可能的。开箱检验时，从中任取1件，如果检验是次品，则认为该箱产品不合格而拒收。假设由于检验有误，1件正品被误检是次品的概率是2%，1件次品被误判是正品的概率是5%，试计算： （1）抽取的1件产品为正品的概率； （2）该箱产品通过验收的概率。
29. 假设一厂家生产的仪器，以概率0.70可以直接出厂，以概率0.30需进一步调试，经调试后以概率0.80可以出厂，并以概率0.20定为不合格品不能出厂。现该厂新生产了n(n?2)台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求： （1）全部能出厂的概率；
（2）其中恰有2件不能出厂的概率； （3）其中至少有2件不能出厂的概率。
30. 进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为p，试求以下事件 的概率：
（1）直到第r次才成功； （2）第r次成功之前恰失败k次； （3）在n次中取得r(1?r?n)次成功； （4）直到第n次才取得r(1?r?n)次成功。
31. 对飞机进行3次独立射击，第一次射击命中率为0.4，第二次为0.5，第三次为0.7. 击中飞机一次而飞机被击落的概率为0.2，击中飞机二次而飞机被击落的概率为0.6，若被击中三次，则飞机必被击落。求射击三次飞机未被击落的概率。