第11章 动力定理
1. 2. ① ②
p?mvc动量：等于质点的质量与其速度的乘积. 质点系的动量定理:
微分形式:质点系的动量对时间的一阶导数等于作用在该质点系上所有外力的矢量和. 积分形式:质点系的动量在任一时间间隔内的变化,等于在同一时间间隔内作用在该指点系上所有外力的冲凉的矢量和.(冲凉定理)
3. 质心运动守恒定律：如果所有作用于质心系的外力在x轴上投影的代数和恒等于零，即
∑F=0，则Vcx=常量，这表明质心的横坐标xc不变或质心沿x轴的运动时均匀的。
例11-5：已知液体在直角弯管ABCD中做稳定流动，流量为Q，密度为ρ，AB端流入截面的直径为d，另一端CD流出截面的直径为d1。求液体对管壁的附加动压力。
解 取ABCD一段液体为研究对象，设流出、流入的速度大小为v1和v2,则
V1=，v2=
建立坐标系，则附加动反力在x、y轴上的投影为F’’Nx=ρQ(v2-0)=
F’’Ny=ρQ [0-（-v1）]
例11-7：图11-6所示的曲柄滑块机构中，设曲柄OA受力偶作用以匀角速度w转动，
滑块B沿x轴滑动。若OA=AB=l，OA及AB都为均质杆，质量都为m1，滑块B的质量为m2。试求此系统的质心运动方程、轨迹及此系统的动量。
解 设t=0时杆OA水平，则有=wt。将系统看成是由三个质点组成的，分别位于杆OA的中点、杆AB的中点和B点。系统质心的坐标为
Xc=cosωt=lcosωt
Yc=sinωt=lsinωt
上式即系统质心C的运动方程。由上两式消去时间t,得
[xc] 2+[] 2=1
即质心C的运功轨迹为一椭圆，如图11-6中虚线所示。应指出，系统的动量，利用式（11-15）的投影式，有
Px=mvcx=(2m1+m2)=-2(m1+m2)lωsinωt
Py=mvcy=(2m1+m2)
=m1lωcosωt
例11-11：平板D放置在光滑水平面上，板上装有一曲柄、滑杆 、套筒机构，十字
套筒C保证滑杆AB为平移，如图示。已知曲柄OA是一长为r，质量为m的均质杆，以匀角速度w绕轴O转动。滑杆AB的质量为4m,套筒C的质量为2m，机构其余部分的质量为20m，设初始时机构静止，试求平板D的水平运动规律x(t)。
解 去整体为质点系，说受的外力有各部分的重力和水平面的反力。因为外力在水平轴上的投影为零，且初始时静止，因此质点系质心在水平轴上的坐标保持不变。建立坐标系，并设平板D的质心距O点的水平距离为a，AB长为l，C距O点的水平距离为b,则初始时质点系质心的水平轴的坐标为
Xc1==
设经过时间t，平板D向右移动了x(t)，曲柄OA转动了角度wt,此时质点系质心坐标为
Xc2=
因为在水平方向上质心守恒，所以xc1=xc2, 解得：X(t)=(1-cosωt)
P207习题11-3
第12章 动量矩定理
1. 质点和质点系的动量矩:
⑴指点对点O的动量矩失在z轴的投影,等于对z轴的动量矩,即「Lo(mv)」=Lz(mv)
⑵质点系对固定点O的动量矩等于各质点对同一点O的动量矩的矢量和.即:Lo=∑Lo(mv) 2. 绕定轴转动刚体对于转轴的动量矩等于刚体对转轴的装动惯量与角速度的乘
积.(Lz=wJz)
3. 平行轴定理:刚体对于任一轴的转动惯量,等于刚体对通过质心并与该轴平行的轴转动惯
量,加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积.
4. 动量矩定理:质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数等于作用于质点的力对同一点的
矩.
例12-2：已知均质细杆和均质圆盘的质量都为m,圆盘半径为R，杆长3R，求摆对通过悬挂点O并垂直于图面的Z轴的转动惯量。
解 摆对Z轴的转动惯量为 Jz=Jz杆+Jz盘
杆对Z轴的转动惯量为
Jz杆=ml 2=m（3R）2=3mR 2 圆盘对其质心的转动惯量为
Jzc2=mR 2 利用平行轴定理
Jz盘= Jzc2+m（R+l 2）=mR 2+16mR2=所以
mR2
Jz= Jz杆+Jz盘=3mR 2+
mR2= mR 2
例12-3：质量为M1的塔伦可绕垂直于图面的轴O转动，绕在塔轮上的绳索于塔轮
间无相对滑动，绕在半径为r的轮盘上的绳索于刚度系数为k的弹簧相连接，弹簧的另一端固定在墙壁上，绕在半径为R的轮盘上的绳索的另一端竖直悬挂质量为M2的重物。若塔轮的质心位于轮盘中心O，它对轴O的转动惯量Jo=2mr,R=2r,M1=m,M2=2m.求弹簧被拉长s时，重物M2的加速度。
解 塔轮做定轴转动，设该瞬时角速度为w,重物作平移运动，则它的速度为v=Rw,它们对O点的动量矩分别为Lo1，Lo2，大小为 Lo1=-Jo2w=-2mr2ω，Lo2=-2mR2w=-8mr2ω2 系统对O点的外力矩为
M0（）=F2r-m2g2R=ksr-4mgr
根据动量矩定理L0=ΣM0（）
得10mr2=(4mg-ks)r
α==
因重物的加速度a2=Rα，所以：a2=Rα=
第13章 动能定理
1. 质点系动能的微分,等于作用在质点系上所有力所做元功的和,这就是质点系微分形式的
动能定理.(13-23)
2. 质点系积分形式的动能定理:质点系在某一运动过程中动能的改变量,等于作用在质点系
上所有力在这一过程中所做的功的和.(13-24,13-25)
3. 力的功率等于切向力与力作用点速度大小的乘积(13-28)
4. 作用在转动刚体上力的功率等于该力堆转轴的矩与角速度的乘积.(13-29)
5. 质点系动能对时间的一阶导数等于作用在指点系上所有力的功率的代数和(功率方程
13-30)
例13-5：重物A和重物B通过动滑轮D和定滑轮C而运动。如果重物A开始时向
下的速度为v0,试问重物A下落多大距离时，其速度增大一倍。设重物A和B的质量均为m1，滑轮D和C的质量均为m2，且为均质圆盘。重物B于水平间的动摩擦因数位f,绳索不能伸长，其质量忽略不计。
解 以系统为研究对象。系统中重物A和B作平移，定滑轮C做定轴转动，动滑轮D
做平面运动。初瞬时A的速度大小为v0，则滑轮D轮心的速度大小为v0，角速度为ωD=;
定滑轮C的角速度为ωC=；重物B的速度大小为2v0。于是运动初瞬时系统的动能为
T1=m1v02+m2v02+(m2rD2)() 2+(m2rC2)() 2+m12v0 2=(10m1+7m2)
速度增大一倍时的动能为T2=(10m1+7m2)
设重物A下降h高度时，其速度增大一倍。所有的力所做的功为
∑=m1gh+m2gh-f’m1g22h=[m1g(1-2f’)+m2g]h
由式有
(10m1+7m2)= [m1g(1-2f’)+m2g]h
解得h=
例13-7：在对称杆的A点，作用一竖直常力F，开始时系统静止。求连杆OA运功
动到水平位置时的角速度。设连杆长均为l，质量均为m，均质圆盘质量为m1，且作纯滚动。
解 以系统为研究对象。由系统从静止开始运动，故初瞬时系统的动能为 T1=0
当杆OA运动到水平位置时，杆端B为杆AB的速度瞬心，因此轮B的角速度为零。设此
时杆OA的角速度为w，由于OA=AB,所以杆AB的角速度亦为w，系统此时的动能为
T2=JOAω2+JABω2=() ω2+() ω2=ω2
所有的力所做的功为 ∑=2(mg)+Flsinα=(mg+F)lsinα
由 ω2-0=(mg+F)lsinα
解得ω=