2019年上海市闵行区中考数学一模试卷(附解析)

【分析】过点D作DH⊥AB,垂足为点H,设AB=x,则 AH=x﹣3,解直角三角形即可得到结论. 【解答】解:过点D作DH⊥AB,垂足为点H,

由题意,得 HB=CD=3,EC=15,HD=BC,∠ABC=∠AHD=90°, ∠ADH=32°,

设AB=x,则 AH=x﹣3,

在Rt△ABE中,由∠AEB=45°,得 tan∠AEB=tan45°=∴EB=AB=x.∴HD=BC=BE+EC=x+15, 在Rt△AHD中,由∠AHD=90°,得 tan∠ADH=

即得tan32°=,

解得:x=≈32.99

∴塔高AB约为32.99米.

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.

23.(12分)如图,在△ABC中,点D为边BC上一点,且AD=AB,AE⊥BC,垂足为点E.过点D作DF∥AB,交边AC于点F,连接EF,EF2=(1)求证:△EDF∽△EFC;

BD?EC.

(2)如果=,求证:AB=BD.

【分析】(1)利用两边成比例夹角相等两个三角形相似即可证明;

)2=

(2)由△EDF∽△ADC,推出可解决问题;

=(,推出=,即 ED=AD,由此即

【解答】证明:(1)∵AB=AD,AE⊥BC, ∴BE=ED=

DB,

∵EF2=

?BD?EC,

∴EF2=ED?EC,即得 又∵∠FED=∠CEF, ∴△EDF∽△EFC.

(2)∵AB=AD, ∴∠B=∠ADB,

=,

又∵DF∥AB, ∴∠FDC=∠B, ∴∠ADB=∠FDC,

∴∠ADB+∠ADF=∠FDC+∠ADF,即得∠EDF=∠ADC, ∵△EDF∽△EFC, ∴∠EFD=∠C, ∴△EDF∽△ADC,

)2=

∴=(,

∴=,即 ED=AD,

又∵ED=BE=∴BD=AD, ∴AB=BD.

BD,

【点评】本题考查等腰三角形的性质,相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.

24.(12分)已知:在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx经过点A(5,0)、B(﹣3,4),抛物线的对称轴与x轴相交于点D. (1)求抛物线的表达式;

(2)联结OB、BD.求∠BDO的余切值;

(3)如果点P在线段BO的延长线上,且∠PAO=∠BAO,求点P的坐标.

【分析】(1)根据点A,B的坐标,利用待定系数法可求出抛物线的表达式;

(2)利用二次函数的性质可得出抛物线的对称轴,进而可得出点D的坐标,过点B作BC⊥x轴,垂足为点C,由点B,D的坐标可得出CD,BC的长度,结合余切的定义可求出∠BDO的余切值; (3)设点P的坐标为(m,n),过点P作PQ⊥x轴,垂足为点Q,则PQ=﹣n,OQ=m,AQ=5﹣m,在Rt△ABC中,可求出cot∠∠BAC=2,结合∠PAO=∠BAO可得出m﹣2n=5①,由BC⊥x轴,PQ⊥x轴可得出BC∥PQ,进而可得出4m=﹣3n②,联立①②可得出点P的坐标. 【解答】解:(1)将A(5,0),B(﹣3,4)代入y=ax2+bx,得:

解得:,

∴所求抛物线的表达式为y=

x2﹣

x.

(2)∵抛物线的表达式为y=

x2﹣

x,

∴抛物线的对称轴为直线x=,

∴点D的坐标为(,0).

过点B作BC⊥x轴,垂足为点C,如图1所示. ∵点B的坐标为(﹣3,4),点D的坐标为(

,0),

∴BC=4,OC=3,CD=3+=,

∴cot∠BDO==.

(3)设点P的坐标为(m,n),过点P作PQ⊥x轴,垂足为点Q,如图2所示. 则PQ=﹣n,OQ=m,AQ=5﹣m. 在Rt△ABC中,∠ACB=90°, ∴cot∠∠BAC=

=2.

∵∠PAO=∠BAO, ∴cot∠PAO=

=2,即m﹣2n=5①.

∵BC⊥x轴,PQ⊥x轴, ∴∠BCO=∠PQA=90°, ∴BC∥PQ, ∴

∴=,即4m=﹣3n②.

由①、②得:,

解得:,

∴点P的坐标为(,﹣).

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