1．4 生活中的优化问题举例
教材分析
本节内容是导数知识的应用，是利用前面所学的导数知识来解决生产生活中的实际问题．要使问题解决达到最优化，首先要建立合适的函数关系，并确定函数的定义域，然后通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决．在这个过程中，可以利用导数分析函数单调性、极值和最值，从而得出像利润最大、用料最省、效率最高等优化问题的结论．因此，导数是解决生活中优化问题的一个有力工具．
课时分配 1课时．
教学目标 1．知识与技能目标
会利用导数求利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用，提高将实际问题转化为数学问题的能力．
2．过程与方法目标
在利用导数解决实际问题中的优化问题的过程中，进一步巩固导数的相关知识，学生通过自主探究，体验数学发现与创造的历程，提高学生的数学素养．
3．情感、态度与价值观
在学习应用数学知识解决问题的过程中，培养学生善于发现问题、解决问题的自觉性，以及科学认真的生活态度，并以此激发他们学习知识的积极性．
重点难点
重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．
难点：将实际问题转化为数学问题，根据实际利用导数解决生活中的优化问题．
教学过程
引入新课
提出问题1：将一根长为1米的铁丝弯成一个矩形，怎么弯才能使矩形的面积最大？ 活动设计：学生讨论，主动发言，教师评论，提醒学生说明理由．
学情预测：由于该问题可操作性强，学生积极性应该很高，可以猜想，也可以计算． 活动成果：弯成正方形时，面积最大．可以用二次函数或平均值不等式来证明．
提出问题2：一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别为多少？
活动设计：继续讨论，像问题1一样需要学生说明理由． 学情预测：除了猜想、证明外，不少学生尝试计算．
l
活动成果：两个小正方形边长都是时，其面积和最小．
8
教师提问：对于以上两个问题，都是对实际问题中的最优化设计，你对实际生活中的最优化设计有什么办法？能联系导数知识进行说明吗？
学情预测：学生会用导数知识重新审视问题1、2，思考之后，部分学生可以答出一些理由．
设计意图
通过几个比较简单的问题，一是激发学生的学习兴趣，二是引出用代数(函数)的方法解决问题．两个问题都可以用二次函数、不等式等知识解决，同样应用导数也能解决，为应用导数知识解决实际问题做铺垫．
探究新知
提出问题：如图，在边长为60 cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体箱子，箱底边长为多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？
活动设计：以小组为单位，研究实施方案，教师巡视、指导．
学情预测：由于问题相对复杂，学生在猜想无果时，会尝试用函数知识解决． 活动成果：
60－x
解法一：设箱底边长为x cm，则箱高h＝(cm)，得箱子容积
2
60x2－x33x2
V(x)＝xh＝(0 22 2 3x2 令V′(x)＝60x－＝0，解得x1＝0(舍去)，x2＝40， 2 并求得V(40)＝16 000. 由题意可知，当x过小(接近0)或过大(接近60)时，箱子容积都很小．经检验可知，16 000是最大值． 答：当箱底边长为40 cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000 cm3. 解法二：设箱高为x cm，则箱底边长为(60－2x) cm，则箱子容积 V(x)＝(60－2x)2·x(0 由题意可知，当x过小或过大时，箱子容积都很小，所以最大值出现在极值点处． 60x2－x3 事实上，可导函数V(x)＝xh＝、V(x)＝(60－2x)2·x在各自的定义域中都只有 2 2 一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不 必考虑端点的函数值． 设计意图 对于比较复杂的实际问题，单靠猜想——证明的方法显然不行，这样就更提高了学生用导数知识解决问题的主动性，从而引出本节课的课题，并初步形成解题思路和解题步骤． 求实际应用题的最大(最小)值的一般方法是： (1)分析问题中各量之间的关系，把实际问题转化为数学问题，建立函数关系式； (2)确定函数的定义域，并求出极值点； (3)比较各极值与定义域端点函数值的大小，结合实际，确定最值或最值点． 理解新知 例1圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？ 活动设计：学生自行设计图形，分组讨论、交流协作． 学情预测：对于圆柱体的体积公式，学生可能会遗忘，需要教师提示． 解：设圆柱的高为h，底面半径为R，容积为V，则表面积S＝2πRh＋2πR2. V 由V＝πR2h，得h＝2. πR V2V 则S(R)＝2πR2＋2πR2＝＋2πR2. πRR 3V2V 令S′(R)＝－2＋4πR＝0，解得R＝， R2π34V3VVV 从而h＝2＝＝＝2，即h＝2R. πRπ2π3V2 π?? 2π 因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值． 答：当罐的高与底面直径相等时，所用材料最省． 点评：实际应用问题的最优化，可以转化为函数在指定范围内的最大值问题．因此，恰当设变量，准确构建函数关系式(明确定义域)，并用导数法(其他方法也可)求出函数最值是这类问题的基本解题步骤． 例2学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128 dm2，上、下两边各空2 dm，左、右两边各空1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？