数学思想专练（一）
一、选择题
1．(2018届高三·浙江五校联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝4，S10＝110，则的最小值为( )
A．7 C.15
2
B．8 17 D.
2
Sn＋64ana2＝a1＋d＝4，??
解析：选D 设等差数列{an}的公差为d，则?10×9
Sd＝110，10＝10a1＋?2?
所以an＝2＋2(n－1)＝2n，Sn＝2n＋≥2
??a1＝2，
解得?
?d＝2，?
nn－
2Sn＋64n2＋n＋64n321
×2＝n＋n，所以＝＝＋＋
an2n2n2
2
n32117n32
·＋＝，当且仅当＝，即n＝8时取等号，故选D. 2n222n2．若关于x的方程x＋2kx－1＝0的两根x1，x2满足－1≤x1<0 2 ?3?A.?－，0? ?4??3?C.?0，? ?4? 2 2 ?3? B.?－，0? ?4??3? D.?0，? ?4? 解析：选B 构造函数f(x)＝x＋2kx－1， ∵关于x的方程x＋2kx－1＝0的两根x1，x2满足－1≤x1<0 f－??∴?f??f，，， －2k≥0，?? 即?－1<0，??4k＋3>0， 3 ∴－ 4 ??g3．设函数g(x)＝x－2(x∈R)，又函数f(x)＝? ??g2 x＋x＋4，x 则f(x)的值域是 ( ) ?9?A.?－，0?∪(1，＋∞) ?4? B．[0，＋∞) 9 C．[－，＋∞) 4 ?9?D.?－，0?∪(2，＋∞) ?4? 解析：选D 依题意知 ??x－2＋x＋4，x ??x－2－x，x≥x－2， 22 2 ??x＋x＋2，x<－1或x>2，f(x)＝?2 ??x－x－2，－1≤x≤2. ＋ 画出f(x)的图象，如图所示，从图中可以看出f(x)的值域为(2， ?9?∞)∪?－，0?. ?4? 4．已知f(x)＝e－e＋1，若f(a)＋f(a－2)<2，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，1) C．(1，＋∞) x－xx－x B．(－∞，2) D．(2，＋∞) 解析：选A 设g(x)＝e－e，显然有f(x)＝g(x)＋1，且g(x)为奇函数，在R上是增函数， 因为f(a)＋f(a－2)<2，所以g(a)＋g(a－2)<0，所以g(a)<－g(a－2)＝g(2－a)，所以a<2－a，所以a<1，选A. 5．设函数f(x)＝ax＋bx＋c(a<0)的定义域为D，若所有点(s，f(t))(s，t∈D)构成一个正方形区域，则a的值为( ) A．－2 C．－8 B．－4 D．不能确定 ＝ 2 解析：选B 根据二次函数性质及复合函数的性质，如示意图，设g(x) ax2＋bx＋c(a<0)的两个零点为x1，x2，则一定有|x1－x2|＝fmax(x)，故 b2－4ac＝ a2 4ac－b2 ，a＝－4a，a＝－4，选B. 4a26．定义域为R的偶函数f(x)满足对任意x∈R，有f(x＋2)＝f(x)－f(1)，且当x∈[2,3]时， f(x)＝－2x2＋12x－18，若函数y＝f(x)－loga(x＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，则a的取 值范围是( ) A.?0，C.?0， ???? 3?? 3?5?? 5? B.?0， D.?0， ???? 2?? 2?6?? 6? 解析：选A ∵f(x＋2)＝f(x)－f(1)，令x＝－1，则f(1)＝f(－1)－f(1)， ∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(1)＝f(－1)，∴f(1)＝0. ∴f(x)＝f(x＋2)，即函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数， 又∵当x∈[2,3]时，f(x)＝－2x＋12x－18， 令g(x)＝loga(x＋1) ，则f(x)与g(x)在[0，＋∞)的部分图象如图所示． 2 y＝f(x)－loga(x＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，可化为f(x)与g(x)的图象在(0，＋∞)上至少有三个交点，g(x)在(0，＋ ∞)上单调递减， ??0 解得0＜a＜ 3 ，故选A. 3 二、填空题 x＋y≥1，?? 7．已知变量x，y满足约束条件?y≤3， ??x－y≤1， 则k＝________. 若z＝kx＋y的最大值为5，且k为负整数， 解析：利用线性规划的知识画出不等式组表示的可行域如图所示： 其中点A(－2,3)，B(4,3)，C(1,0)，根据线性规划知识可得，目标函数的最优解必在交点处取得，则－2k＋3＝5或4k＋3＝5或k＋0＝5，又k为负整数，所以k＝－1. 答案：－1 8．(2017·泰州模拟)在直角△ABC中，AB＝2，AC＝23，斜边BC上有异于端点的两点E，F，―→―→ 且EF＝1，则AE·AF的取值范围是________． 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设E(x,23－3x)， F?x＋，??3133―→―→??1?－3x?，其中0 2??22? (23－3x)? ?33?22 －3x?＝4x－10x＋9.设f(x)＝4x－10x＋?2? 3?5―→―→??11??11?9?0 2?4??4??4? 答案：? ?11，9? ??4? 上的的最 9.如图，设直线m，n相交于点O，且夹角为30°，点P是直线m―→―→―→―→ 动点，点A，B是直线n上的定点．若|OA|＝|AB|＝2，则PA·PB小值是________． 解析：以OB所在直线为x轴，过O且垂直于AB的直线为y轴，建立如图的坐标系，则A(2,0)，B(4,0)，