2011年《新高考全案》高考总复习第一轮复习测评卷
第四章 第四讲
一、选择题
1．把一条长为100 cm的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，则分法为
( )
A．10,90 B．30,70 C．40,60 D．50,50
100－x212x
[解析] 设一段长为x，另一段长为100－x，s＝()2＋()＝[x＋(100－x)2]
4416
11
＝(2x2－200x＋10000)，S′＝(4x－200)令S′＝0，得x＝50.选D. 1616[答案] D
2．圆柱的表面积为S，当圆柱体积最大时，圆柱的高为
( )
S 3π6πSC. 3πA.
B.3πS D．3π6πS
[解析] 设圆柱底面半径为r，高为h，两底面积和为2πr2. S－2πr2
S＝2πr＋2πrh，h＝ 2πr
2
32
rS－2πrS－6πr
又V＝πr2h＝，V′＝，令V′＝0
22
SS6πS
得S＝6πr2，h＝2r，r＝ ∴h＝2＝，选C.
6π6π3π[答案] C
3．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积为最大，则高为
( )
3
cm 3163C. cm
3A.
10B.
320D.
3
3 cm 3 cm
1π
[解析] 设圆锥的高为x，则底面半径为202－x2，其体积为V＝πx(202－x2)(0 33－3x2)，令V′＝0， 203203203203203 得x1＝，x2＝－(舍去)，当0 33333V取最大值，选D. [答案] D 4．内接于半径为R的球并且体积最大的圆锥的高为 ( ) A．R B．2R 4 C.R 3 3D.R 4 [解析] 设圆锥高为h，底面半径为r，则R2＝(b－R)2＋r2，∴r2＝2Rh－h2， ππ2πR2π3 ∴V＝r2h＝h(2Rh－h2)＝h－h， 333344V′＝πRh－πh2，令V′＝0，h＝R. 33[答案] C 5．某公司租地建仓库，每月土地租用费y1与仓库到车站的距离成反比．而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果要在距离车站10公里处建仓库，这两项的费用y1，y2，分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( ) A．5公里处 B．4公里处 C．3公里处 D．2公里处 [答案] A 6．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R 1??400x－2x2 (0≤x≤400) 与年产量x的关系是R＝R(x)＝?，则总利润最大时，每年生产的产品是 ??80000 (x＞400) B．150 D．300 ( ) A．100 C．200 [解析] 由题意得，总成本函数为 C＝C(x)＝20000＋100x，所以总利润函数为 P＝P(x)＝R(x)－C(x) x??300x－2－20000 (0≤x≤400)， ＝? ??60000－100x (x＞400). 2 ??300－x (0≤x≤400)，而P′(x)＝? ??－100 (x＞400)， 令P′(x)＝0，得x＝300，易知x＝300时，P最大． [答案] D 二、填空题 7．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价为每天180元时，房间会全部住满；房间单价每增加10元，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆每间每天需花费20元的各种维护费用，要使宾馆利润最大，房间应定价________元． [解析] 设每个房间每天的定价为x元，那么宾馆利润 x－18011 l(x)＝(50－)(x－20)＝－x2＋70x＋1360，令l′(x)＝－x＋70＝0，解得x＝350.l(x)只有一个极 10105值，且为极大值，所以x＝350为最大值点． [答案] 350 8．用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器的底面的一边比高长0.5 m，则当高为________米时，容器的面积最大． [解析] 设容器的高为x米，则V＝x(x＋0.5)(3.2－2x)， 4 V′＝－6x2＋4.4x＋1.6＝0，解15x2－11x－4＝0，x＝1(x＝－舍去)． 15 [答案] 1 9．如右图所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的底面边长为________时，其容积最大． [分析] 本小题主要考查正六棱柱的概念与性质，以及函数的相关知识，考查学生运用导数知识解决实际问题的能力． [解析] 设被切去的全等四边形的一边长为x(如图所示)则正六 棱柱的底面 31 边长为1－2x，高为3x，所以正六棱柱的体积V＝6×(1－2x)2×3x(0＜x＜)，化 42 9 简得V＝(4x3－4x2＋x)． 29 又V′＝(12x2－8x＋1)， 2 11 由V′＝0，得x＝或x＝. 261 ∵当x∈(0，)时，V′＞0，V是增函数； 611 当x∈(，)时，V′＜0，V是减函数． 6212 ∴当x＝时，V有最大值，正六棱柱的底面边长为. 632 [答案] 3 2 10．某厂生产某种产品x件的总成本c(x)＝1200＋x2(万元)，已知产品单价的平方与产品件数x成反 75 比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为________件时总利润最大． [答案] 25 三、解答题 11．某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)＝3700x＋45x2－10x3(单位：万元)，成本函数为C(x)＝460x＋5000(单位：万元)，又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)． (1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；(提示：利润＝产值－成本) (2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？ (3)求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？ [解] (1)P(x)＝R(x)－C(x) ＝－10x3＋45x2＋3240x－5000(x∈N*，且1≤x≤20)； MP(x)＝P(x＋1)－P(x) ＝－30x2＋60x＋3275(x∈N*，且1≤x≤19)． (2)P′(x)＝－30x2＋90x＋3240 ＝－30(x－12)(x＋9)， ∵x＞0，∴P′(x)＝0时，x＝12， ∴当0＜x＜12时，P′(x)＞0， 当x＞12时，P′(x)＜0， ∴x＝12时，P(x)有最大值． 即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大． (3)MP(x)＝－30x2＋60x＋3275＝－30(x－1)2＋3305. 所以，当x≥1时，MP(x)单调递减， 所以单调减区间为[1,19]，且x∈N*. MP(x)是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘利润与前一艘比较，利润在减少． 12．(2008·江苏)某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A，B及CD的中点P处，已知AB＝20 km，CB＝10 km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上(含边界)，且A，B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为y km. (1)按下列要求写出函数关系式： ①设∠BAO＝θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式； ②设OP＝x(km)，将y表示成x的函数关系式． (2)请你选用(1)中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短． [解] 本小题主要考查函数最值的应用． (1)①由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO＝θ(rad)，则OA＝－10 tanθ， 所以y＝OA＋OB＋OP＝ 1010＋＋10－10tanθ， cosθcosθ AQ1010 ＝，故OB＝，又OP＝10cos θcosθcosθ 20－10sinθπ 所求函数关系式为y＝＋10(0＜θ＜) cosθ4②若OP＝x(km)，则OQ＝10－x，所以OA＝OB＝所求函数关系式为y＝x＋2(2)选择函数模型①， －10cos·cosθ－(20－10sinθ)(－sinθ) y′＝ cos2θ＝ 10(2sinθ－1) cos2θ (10－x)2＋102＝ x2－20x＋200 x2－20x＋200(0＜x＜10) 1ππ 令y′＝0得sinθ＝，因为0＜θ＜，所以θ＝， 246ππππ 当θ∈(0，)时，y′＜0，y是θ的减函数；当θ∈(，)时，y′＞0，y是θ的增函数，所以当θ＝时，6646 103 ymin＝10＋103.这时点P位于线段AB的中垂线上，且距离AB边km处． 3 亲爱的同学请写上你的学习心得 ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________