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0,y?0,?FY(y)?P(Y?y)?P(X2?y)???P(y?X?y,y?0，
0,y?0,?0,y?0,??????(y)??(?y),y?0??2?(y)?1,y?0.于是Y的密度函数为
2.23.设随机变量X~U(0,?)，求下列随机变量Y的概率密度函数：
(1)Y?2lnX;(2)Y?cosX;(3)Y?sinX.，求Y?1?X的密度函数.
2.23解：X的密度函数和分布函数分别为：
?1/?,0?x??,，FX(x)?P(X?x)， fX(x)??0,其他，?且有FX'(x)?fX(x)
（1）Y?2lnX的密度函数和分布函数分别为fY(y),FY(y)?P(Y?y)，其中
yy???2?2???FY(y)?P(Y?y)?P(2lnX?y)?P?X?e??FX?e??， ????因此Y的密度函数为
（2）Y?cosX的密度函数和分布函数分别为fY(y),FY(y)?P(Y?y)，其中 于是Y的密度函数为
（3）Y?sinX的密度函数和分布函数分别为fY(y),FY(y)?P(Y?y)，其中 于是Y的密度函数为
第二章综合练习
1. 填空题
（1）． 已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 Pk 0.1 0.2 0.4 p 则：p= 0.3 。
?1?e?x，x?0（2）．设X的分布函数为F(x)??，则P{X?2}? ；
?0，x?0P{X?3}? ；X的概率分布f(x)? 。
?1，0?x?2，则P{X?1}? ；（3）.设X的概率分布为f(x)???2??0，其它文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
P{X?2}? 。
???Acosx，x?（4）．设随机变量X的概率密度为f(x)??2，则：系数A= ；
?其它?0，P{0?X?}= 。
2（5）.设随机变量X的概率分布为
则Y? 0 ?2X?2的分布律为 ，X的分布函数F(x)为 。 3（6）.设随机变量X的概率分布为P(X?K)?A?KK!，K?1,2,?，??0，则常数
A? 。
??e??x x?0(7)若随机变量X的概率密度为f(x)??，则当C? 时，有
x?0?0 P(X?C)?1。 2(8).设随机变量X的概率密度为f(x)??用Y表示事件(X?0?x?1?2x ，对X进行三次独立重复观察，
其他?0 1)出现的次数，则P(Y?2)? 。 2??0, x?0,???0?x?,则A= (9).设连续型随机变量X的分布函数为F(x)??Asinx, 2???1, x?.?2? ，P(|X|?2.选择题
（1）设随机变量X的概率密度为f(x)，且f(?x)?f(x)，F(x)是X的分布函数，则对任意实数a有（ ）
A．F(?a)?1??6)? 。
?a01af(x)dx B. F(?a)???f(x)dx
20C．F(?a)?F(a) D. F(?a)?2F(a)?1
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（2）下述函数中，可作为某个随机变量的分布函数的是（ ）
1 21?x11B. F(x)??arctanx
2?A. F(x)??1?x?(1?e), x?0;C. F(x)??2
? x?0.?0, D. F(x)??x??f(t)dt，其中?f(t)dt?1。
????（3）设X1，X2是随机变量，它们的分布函数分别为F1(x)，F2(x)，为使
F(x)?aF1(x)?bF2(x)是某一随机变量的分布函数，在下列给出的各组数中应取
（ ）
3222，b?? B. a?，b? 53351313C． a??，b? D. a?，b?
2222?4x3,0?x?1 4．设随机变量X的密度函数为f(x)??，则使P(X?a)?P(X?a)成
其它?0,A． a?立的常数a?（ ） 。
5.设X的概率分布为f(x)???Ax，0?x?1?0，其它，则P{X?}=( )。
12 (A)
1311 (B) (C) (D)
344222 6．设X和Y均服从正态分布X~N(?，4)，Y~N(?，5)，记
p1?P{X???4}，p2?P{Y???5}，则（ ）
(A)对任何实数?都有p1?p2 (B)对任何实数?都有p1?p2
(C)仅对?的个别值有p1?p2 (D)对任何实数?都有p1?p2
计算题
（1）一个工人在一台机器上独立地生产了三个同种零件，第i个零件不合格的概率为
pi?1(i?1,2,3)，以X表示三个零件中合格品的个数，求X的分布律。 i?10?x?1?2x （2）设随机变量X的概率密度为f(x)??，现对X进行n次独立重复
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观测，以Vn表示观测值不大于0.1的次数，求Vn的概率分布。
（3）设随机变量X~U[2,5]，对X进行三次独立观测，求至少有两次观测值大于3的概率。
（4）设测量的随机误差X~N(20,40)，试求在三次重复测量中，至少有一次误差的绝对值不大于30的概率。
2?k -1?x?1?2（5）设连续型随机变量X的分布密度为f(x)??1?x，
?0 其他?① 确定常数k； ② 求X落在???11?,?内的概率。 22???1xx?0,?2e, ??1（6）设连续型随机变量X的分布密度为f(x)??, 0?x?2,，试求X的分布
?4 x?2.?0, ??函数F(x)。
（7）设连续型随机变量X的分布密度为
2? x?0?， fX(x)???(x2?1)?0 x?0?求 ① Y?X的分布密度； ② Y?lnX的分布密度。
3综合练习答案
填空题
??e?x,x?0111(1).0.3 ，(2).1?e,e,f(x)??, (3). ,1, (4).,
222?0,x?0?2?3(5).
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e??19?1(6).A?,(7).,(8).,(9)..A=1； C?ln2P(Y?2)?P(|X|?)???1?e?6462选择题
. （1）B；（2）B；（3）A，4.A, 5.C, 6.B 3. （1）X的分布律为
0 1 2 3 kkn?k（2）Vn的概率分布为P(Vn?k)?Cn(0.01)(0.99)，k?0,1,?,n
（3）
20 271；②
（4）约为0.87 （5） ① k??1 3?1x x?0,?2e, ??1x（6）F(x)???, 0?x?2,
?24 x?2.?1, ??2? y?0?2233（7） ① fY(y)??3??(y?1)?y
?0 y?0?2ey② fY(y)?，???y???、
?(e2y?1)