概率论习题2答案(供参考)

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0,y?0,?FY(y)?P(Y?y)?P(X2?y)???P(y?X?y,y?0,

0,y?0,?0,y?0,??????(y)??(?y),y?0??2?(y)?1,y?0.于是Y的密度函数为

2.23.设随机变量X~U(0,?),求下列随机变量Y的概率密度函数:

(1)Y?2lnX;(2)Y?cosX;(3)Y?sinX.,求Y?1?X的密度函数.

2.23解:X的密度函数和分布函数分别为:

?1/?,0?x??,,FX(x)?P(X?x), fX(x)??0,其他,?且有FX'(x)?fX(x)

(1)Y?2lnX的密度函数和分布函数分别为fY(y),FY(y)?P(Y?y),其中

yy???2?2???FY(y)?P(Y?y)?P(2lnX?y)?P?X?e??FX?e??, ????因此Y的密度函数为

(2)Y?cosX的密度函数和分布函数分别为fY(y),FY(y)?P(Y?y),其中 于是Y的密度函数为

(3)Y?sinX的密度函数和分布函数分别为fY(y),FY(y)?P(Y?y),其中 于是Y的密度函数为

第二章综合练习

1. 填空题

(1). 已知随机变量X的分布列为

X 0 1 2 3 Pk 0.1 0.2 0.4 p 则:p= 0.3 。

?1?e?x,x?0(2).设X的分布函数为F(x)??,则P{X?2}? ;

?0,x?0P{X?3}? ;X的概率分布f(x)? 。

?1,0?x?2,则P{X?1}? ;(3).设X的概率分布为f(x)???2??0,其它文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

P{X?2}? 。

???Acosx,x?(4).设随机变量X的概率密度为f(x)??2,则:系数A= ;

?其它?0,P{0?X?}= 。

2(5).设随机变量X的概率分布为

则Y? 0 ?2X?2的分布律为 ,X的分布函数F(x)为 。 3(6).设随机变量X的概率分布为P(X?K)?A?KK!,K?1,2,?,??0,则常数

A? 。

??e??x x?0(7)若随机变量X的概率密度为f(x)??,则当C? 时,有

x?0?0 P(X?C)?1。 2(8).设随机变量X的概率密度为f(x)??用Y表示事件(X?0?x?1?2x ,对X进行三次独立重复观察,

其他?0 1)出现的次数,则P(Y?2)? 。 2??0, x?0,???0?x?,则A= (9).设连续型随机变量X的分布函数为F(x)??Asinx, 2???1, x?.?2? ,P(|X|?2.选择题

(1)设随机变量X的概率密度为f(x),且f(?x)?f(x),F(x)是X的分布函数,则对任意实数a有( )

A.F(?a)?1??6)? 。

?a01af(x)dx B. F(?a)???f(x)dx

20C.F(?a)?F(a) D. F(?a)?2F(a)?1

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(2)下述函数中,可作为某个随机变量的分布函数的是( )

1 21?x11B. F(x)??arctanx

2?A. F(x)??1?x?(1?e), x?0;C. F(x)??2

? x?0.?0, D. F(x)??x??f(t)dt,其中?f(t)dt?1。

????(3)设X1,X2是随机变量,它们的分布函数分别为F1(x),F2(x),为使

F(x)?aF1(x)?bF2(x)是某一随机变量的分布函数,在下列给出的各组数中应取

( )

3222,b?? B. a?,b? 53351313C. a??,b? D. a?,b?

2222?4x3,0?x?1 4.设随机变量X的密度函数为f(x)??,则使P(X?a)?P(X?a)成

其它?0,A. a?立的常数a?( ) 。

5.设X的概率分布为f(x)???Ax,0?x?1?0,其它,则P{X?}=( )。

12 (A)

1311 (B) (C) (D)

344222 6.设X和Y均服从正态分布X~N(?,4),Y~N(?,5),记

p1?P{X???4},p2?P{Y???5},则( )

(A)对任何实数?都有p1?p2 (B)对任何实数?都有p1?p2

(C)仅对?的个别值有p1?p2 (D)对任何实数?都有p1?p2

计算题

(1)一个工人在一台机器上独立地生产了三个同种零件,第i个零件不合格的概率为

pi?1(i?1,2,3),以X表示三个零件中合格品的个数,求X的分布律。 i?10?x?1?2x (2)设随机变量X的概率密度为f(x)??,现对X进行n次独立重复

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观测,以Vn表示观测值不大于0.1的次数,求Vn的概率分布。

(3)设随机变量X~U[2,5],对X进行三次独立观测,求至少有两次观测值大于3的概率。

(4)设测量的随机误差X~N(20,40),试求在三次重复测量中,至少有一次误差的绝对值不大于30的概率。

2?k -1?x?1?2(5)设连续型随机变量X的分布密度为f(x)??1?x,

?0 其他?① 确定常数k; ② 求X落在???11?,?内的概率。 22???1xx?0,?2e, ??1(6)设连续型随机变量X的分布密度为f(x)??, 0?x?2,,试求X的分布

?4 x?2.?0, ??函数F(x)。

(7)设连续型随机变量X的分布密度为

2? x?0?, fX(x)???(x2?1)?0 x?0?求 ① Y?X的分布密度; ② Y?lnX的分布密度。

3综合练习答案

填空题

??e?x,x?0111(1).0.3 ,(2).1?e,e,f(x)??, (3). ,1, (4).,

222?0,x?0?2?3(5).

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e??19?1(6).A?,(7).,(8).,(9)..A=1; C?ln2P(Y?2)?P(|X|?)???1?e?6462选择题

. (1)B;(2)B;(3)A,4.A, 5.C, 6.B 3. (1)X的分布律为

0 1 2 3 kkn?k(2)Vn的概率分布为P(Vn?k)?Cn(0.01)(0.99),k?0,1,?,n

(3)

20 271;②

(4)约为0.87 (5) ① k??1 3?1x x?0,?2e, ??1x(6)F(x)???, 0?x?2,

?24 x?2.?1, ??2? y?0?2233(7) ① fY(y)??3??(y?1)?y

?0 y?0?2ey② fY(y)?,???y???、

?(e2y?1)

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