班级 姓名 学号 第一章 多项式
§1-2 数域与一元多项式
一 填空题
1．最小的数环是 ，最小的数域是 .
2．一非空数集P,包含0和1, 且对加减乘除四种运算封闭，则其为 . 二 证明题
1. 证明：P?a?bia,b?Q是一个数域. 2．证明：P?????m?m,n?Z?是一个数环.P也是一个数域吗？ n??23．证明：两个数环的交还是一个数环.
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班级 姓名 学号 §3 整除的概念
一 选择题
1．在P[x]里能整除任意多项式的多项式是（ ）.
A．零多项式 B．零次多项式 C．一次多项式
2．下列对于多项式的结论不正确的是（ ）.
A.如果f(x)g(x),g(x)f(x)，那么f(x)?g(x) B.如果f(x)g(x),f(x)h(x)，那么f(x)(g(x)?h(x))
C.如果f(x)g(x)，那么?h(x)?P[x]，有f(x)g(x)h(x) D.如果f(x)g(x),g(x)h(x)，那么f(x)h(x)
二 填空题
1. 求用x?2除f(x)?x4?2x3?x?5的商式为 ，余式为 . 2．把f(x)?x4?5表成x?1的多项式是 . 三 计算或证明
1. 已知f(x)?x4?4x3?1, g(x)?x2?3x?1 ,求f(x)被g(x)除所得的商式和余式. 2. 令f1(x),f2(x),g1(x),g2(x)都是数域P上的多项式, 其中f1(x)?0且g1(x)g2(x)
f1(x)f2(x), f1(x)|g1(x)，证明: g2(x)|f2(x).
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班级 姓名 学号 §4 最大公因式
一 填空题
1. 设g(x)f(x)，则f(x)与g(x)的最大公因式为 .
2. 多项式f(x)，g(x)互素的充要条件是存在多项式u(x)，v(x)使得 . 3. 设d(x)为f(x)，g(x)的一个最大公因式, 则d(x)与(f(x),g(x))的关系为 .
4. 设f(x)?x4?x2?ax?b.g(x)?x2?x?2，若(f(x),g(x))?g(x)，则
a? ，b? .
5．设f(x),g(x)?P[x]，若?(f(x))?0, ?(g(x))?m，则?(f(x),g(x))= . 6. 若g(x)f(x), h(x)f(x)，并且 ，则g(x)h(x)f(x). 二 计算题
1．设f(x), g(x)?P[x], g(x)?0, 且f(x)?g(x)q(x)?r(x), 举例说明
(f(x),g(x))?(f(x),r(x))不成立.
2. 求多项式f(x)?4x4?2x3?16x2?5x?9，g(x)?2x3?x2?5x?4的最大公因式
d(x)，以及满足等式f(x)u(x)?g(x)v(x)?d(x)的u(x)和v(x).
3. 求多项式f(x)?x?2x?2x?1与g(x)?x?x?2xx?1的公共根. 三 证明题
1. 设f(x)?d(x)f1(x)，g(x)?d(x)g1(x).证明：如果(f(x),g(x))?d(x)，且f(x)和
32432g(x)不全为零，则(f1(x),g1(x))?1.
2. 设g(x),f(x)?P[x]，证明：如果(f(x),g(x))?1，那么对?h(x)?P[x]，都有
(f(x)h(x),g(x))?(h(x),g(x)).
3. 设a,b,c,d?F，且ad?bc?0，对于任意的f(x),g(x)?P[x]，则有(f(x),g(x))?
(af(x)?bg(x),cf(x)?dg(x)).
4. 设(f(x),g(x))?1，试证：
（1）(f(x),f(x)?g(x))?1； （2）(f(x)g(x),f(x)?g(x))?1.
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