序篇
[线段中分类讨思想的应用]——线段及端点位置的不确定性引发讨论。
例1已知直线AB上一点C，且有CA=3AB，则线段CA与线段CB之比为_3：2_或_3：4____。
C1 A B C2 练习：已知A、B、C三点在同一条直线上，且线段AB=7cm，点M为线段AB的中点，线段BC=3cm，点N为线段BC的中点，求线段MN的长.
解析：(1)点C在线段AB上： (2)点C在线段AB的延长线上
AMCNB
AMBNC
例2下列说法正确的是（ ）
A、 两条线段相交有且只有一个交点。B、如果线段AB=AC那么点A是BC的中点。 B、 两条射线不平行就相交。D、不在同一直线上的三条线段两两相交必有三个交点。 [与角有关的分类讨论思想的应用]——角的一边不确定性引发讨论。 例3在同一平面上，∠AOB=70°，∠BOC=30°，射线OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的大小。（20°或50°） BNCMMCBNA [练习] 已知?AOB?60o,过O作一条射线OC，射线OE平分?AOC，射线OD平分?BOC，求?DOE的大小。 （1）射线OC在?AOB内 （2）射线OC在?AOB外
AECDOBCEOA OAD OB ?AOB60o这两种情况下，都有?DOE=??30o
22小结：（对分类讨论结论的反思）——为什么结论相同？虽然?AOC的大小不确定，但是所
求的?DOE与?AOC的大小无关。我们虽然分了两类，但是结果是相同的！这也体现了分类讨论的最后一个环节——总结的重要性。
[三角形中分类讨论思想的应用]
1、三角形的形状不定需要分类讨论
2AD?BD·DC，则∠BCA的度 例4、 在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC上的高，并且
数为_____________。
解析：因未指明三角形的形状，故需分类讨论。 如图1，当△ABC的高在形内时，
2AD?BD·DC， 得△ABD∽△CAD，进而可以证明△ABC为直角三角形。由 ∠B＝由
25°。可知∠BAD＝65°。所以∠BCA＝∠BAD＝65°。 如图2，当高AD在形外时，
2AD?BD·DC，此时△ABC为钝角三角形。 由得△ABD∽△CAD 所以∠B＝∠CAD＝25°
∠BCA＝∠CAD＋∠ADC＝25°＋90°＝115°
2、等腰三角形的分类讨论：
a、在等腰三角形中求边：等腰三角形中，对给出的边可能是腰，也可能是底边，所以我们要进行分类讨论。
例5、已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________。
[练习]若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。
简析：已知条件并没有指明哪一部分是9cm，哪一部分是12cm，因此，应有两种情形。若设这个等
11??x?x?9,x?x?12,???x?6,?x?8,??22腰三角形的腰长是xcm，底边长为ycm，可得?或?解得?或?即
?y?9,?y?5.?1x?y?12,?1x?y?9.???2?2当腰长是6cm时，底边长是9cm；当腰长是8cm时，底边长是5cm。
b、在等腰三角形中求角：等腰三角形的一个角可能指底角，也可能指顶角，所以必须分情
况讨论。
例6、已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为（ ）
A. 30°
B. 75°
C. 105°
D. 30°或75°
[练习]1、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，求这个等腰三角形的顶角的度数。
简析：依题意可画出图1和图2两种情形。图1中顶角为45°，图2中顶角为135°。
2、在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B=____________。
3、直角三角形中，直角边和斜边不明确时需要分类讨论
例7、 已知x，y为直角三角形两边的长，满足_____________。
4、相似三角形的对应角(或边)不确定而进行的分类。
x2?4?y2?5y?6?0，则第三边的长为
例8、如图所示，在△ABC中，AB?6，AC?4，P是AC过P点的直线交AB于点Q，若以A、P、Q为顶点的三角形和
B
A 的中点，
P
C
以
A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ的长为（ ）
例2 等腰三角形腰上的高是腰的一半，则该角的度数为＿＿＿.
例3 已知BD、CE是ΔABC的高，直线BD、CE相交所成的角中有一个是50°，则∠BAC＝_______. 例4 菱形有一内角为120°，有一条对角线为6cm，则此菱形的边长为________cm. 按图形的位置分类（如坐标系中点的位置，点与直线的位置关系） 例5 在平面直角坐标系中，点A（－2,5）B（－3，－1），C（1，－1），请你再找一个点D，使以A、
B、C、D为顶点的四边形是平行四边形.请写出点D的坐标为 . 例6 已知在ΔABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，ΔABC绕点B顺时针旋转至ΔA’BC’的位置，使A、B、
C’三点在一条直线上，则AA’＝＿＿＿.
例7 如图，第一象限的点A在反比例函数的图象上，过A作AB⊥x轴，垂足为B，
连结AO，已知ΔAOB的面积为4，
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点A的纵坐标为4，过点A的直线与x轴交于点P(异于点0)，且ΔAPB与 ΔAOB相似，求所有符合条件的点P的坐标.
1. 已知A（0,0），B（0,3）两点，在坐标平面内确定某点的坐标，使顺次连接三点
所组成的图形是等腰直角三角形（请作出图形，并在图上标出各顶点的坐标）.
2. 如图，已知正方形ABCD的边长为2，O为BC边的中点，若P为DC上一动点，连结BP，过点O作
直线l⊥BP交AB（或AD）于点Q． A D （1）设DP＝t（0＜t＜2），直线l截正方形所得左侧部分图形的面积为S，试求S关于t的函数关系式．
（2）当点Q落在AD（不含端点）上时，问：以O、P、Q为顶点的三角形能否是等腰三角形？若能，请指出此时点P的位置；若不能，请说明理由．
C B O
例、已知：点A（-1，0），B(0，3)，作直线 x =1，在直线 x =1上
找一点P,使△ABP 为等腰三角形，并求出P点坐标。