则MRTS12Born to win
经济学考研交流
MP未必等于MP。
121/2121（3）令??1，则有：Q??X,?X????X???X2?1/2??Q?X1,X2?，
因此这一生产函数是规模报酬不变的。
（4）证明：长期中厂商成本最小化问题为：
minP1X1?P2X2?X1?X2X1,X2s.. tX1/21X2?101/2
构造拉格朗日函数：
1/21/2L?X1,X2,???X1?X2???10?X1X2?
成本最小化的一阶条件为：
?L?1?0.5?XX?0 ?X?1/211/2211/2?L?1/2?1?0.5?X1X2?0?X2
1/21/2?L?10?X1X2?0??
。 数
有上述三式可得：X 11
．
确
定
1?X2?10。
1因此，在长期中最优要素投入为X当
生
产
?X2?10函
2f?X1,X2??100?X1?X2??20X1X2?12.5?X12?X2?是递增的和严格凹的
时，它的定义域。
解：生产函数首先要求投入要素量为非负。 递增条件要求f?0，f112，即：
f?100?20X?25X?0 f?100?20X?25X?0
2?02112985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
Born to win
经济学考研交流
从而得到0.8X?4?X?1.25X?5。
121凹函数要求，f由于f1111?0，f22?0，f1122f?f122。 ，本题中且X和X
1??25?0，f22??25?0，f1122f?625?f122?400是满足的。
综上可知，在定义域为0.8X?4?X12?1.25X1?52
非负的条件下，该生产函数递增且是严格凹函数。
12．假设一生产函数，f?x??xx。
ab12（1）求出其替代弹性?。
（2）如果将要素的产出弹性定义为
?i??f?x?/f?x??xi/xi，试证明：规模弹性e?x?为要素的产出弹
性之和。
解：（1）由f?x??xx可得：
ab12bf1ax1a?1x2ax?ab?1?2f2bx1x2bx1，即：
?f??x??a?ln?1??ln???ln?2??b??f2??x1?
所以得：dln??ff???dln??xx??。
12?2??1?从而替代弹性为：
??dln?x2/x1?dln?MRTS1,2??d?x2/x1?f1/f2dln?f1/f2????1d?f1/f2?x2/x1dln?x2/x1?
可见，对于任意的C-D生产函数，其替代弹
985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
Born to win
经济学考研交流
（2）该生产函数为?a?b?次齐次函数，规模弹
性恒为1。 性：
e?x??limt?1df?tx?/f?tx?dt/t?limt?1df?tx?dtd?tx1x2?tt??lim?a?babf?tx?t?1dttx1x2a?bab??tb ?lim??a?b?ta?b?1x1ax2?a?bab??a?bt?1tx1x2??
对生产函数作变形，有：lnf?x,x??alnx?blnx。
1212根据产出弹性的定义可得：
?1??f?x?/f?x??x1/x1?lnf?x1,x2??lnx2???lnf?x1,x2??lnx1?f?x?/f?x??x2/x2?a?b
?2?所以，e?x?????，因此得证。
12
13．给定CES生产函数Q??KP?LP?1/P，其中，Q为
产出，K、L分别为资本和劳动的投入量。
（1）证明该企业规模收益不变。 （2）资本和劳动的边际产量为多少？ （3）劳动对资本的边际技术替代率是多少？
（4）证明资本和劳动的产出弹性之和等于1。
（5）把这个企业分为两个相同的企业，分立之后产出之和与原企业的产出有什么变化？
985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详
解
Born to win
经济学考研交流详细写出演算过程。
解：（1）由于Q?f??K,?L??????K????L?????Q，可见该
PP1/P生产函数为一次齐次生产函数，规模收益不变。
MPK（2）资本的边际产量为：?Q1????K?L??PK?K??K?L?； ?KPPP1?1PP?1P?1PP1?1P劳动的边
1?Q1PPP?1MPL????K?L??PLP?1?LP?1??KP?LP际产?L?。
P1?1P量为：
（3）劳动对资本的边际技术替代率为：
MRTSL,KdKMPL?L???????dLMPK?K?P?1。
（4）劳动的产出弹性为：
1?Q/Q?QL1PPP?1EL??????K?L??PLP?1??L/L?LQPL?KP?LP?1PLP?PK?LP
资本的产出弹性为：
1?Q/Q?QK1PPP?1EK??????K?L??PKP?1??K/K?KQPK?KP?LP?1PKP?PK?LP
所以，
LP?KPEL?EK?P?1K?LP。
（5）若把该企业分为两个相同的企业，则两个企业拥有的资本和劳动投入量分别为原来的一半，则企业拆分后的总产量为：
1??K??L????1???1?PPPQ总?2????????2??????K?L??2????Q?Q?2???2??2????????2??PP1PP1P
因此，在规模报酬不变的条件下，企业分立
985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
Born to win
经济学考研交流之后产出之和与原企业的产出相等。
14．（1）试证明欧拉定理：对任何k次（k?0）齐次生产函数f?X?，总有：
kf?X???i?fxi?xi2
??12（2）用生产函数f?x,x??Axx（A、?、??0）验证
1欧拉定理。
解：（1）对于k次齐次生产函数，?t?0，
f?tX??tkf?X?。等式两边同时对
xit微分，有
ktk?1f?X???i?f?tx???txi?。令t?1，即可得到欧拉定理的表达式
kf?X???i?fxi?xi。
??1212（2）生产函数f?x,x??Axx（A、?、??0）显然是?????次齐次生产函数。由生产函数可得：
?f?A?xx ?x??1?211?f???1?A?x1x2?x2 。
所以有：??xf?x???xf?x1122??????f?x1,x2?
985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解