名校真题 测试卷 数论篇一
时间：15分钟 满分5分 姓名_________ 测试成绩_________ 1 （13年人大附中考题）
有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。 2 （13年101中学考题）
如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数 是＿＿。 3 （13年首师附中考题）
505131313131202++=＿＿。 ?212121212121212121214 （04年人大附中考题）
甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。 5 (02年人大附中考题)
下列数不是八进制数的是( )
A、125 B、126 C、127 D、128 【附答案】
1 【解】：6
2 【解】：设原来数为ab，这样后来的数为a0b,把数字展开我们可得：100a+b=9×(10a+b),所以我们可以知道5a=4b,所以a=4,b=5,所以原来的两位数为45。 3 【解】：周期性数字，每个数约分后为
12513+++=1 212121214 【解】：题中要求丙与135的乘积为甲的平方数，而且是个偶数（乙+乙），这样我们分解135=5×3×3×3，所以丙最小应该是2×2×5×3，所以甲最小是：2×3×3×5=90。
5 【解】：八进制数是由除以8的余数得来的，不可能出现8，所以答案是D。
小升初专项训练 数论篇（一）
一、小升初考试热点及命题方向
希望考入重点中学？ 数论是历年小升初的考试难点，各学校都把数论当压轴题处理。由于行程题的类型较多，题型多样，奥数网是我们成就梦变化众多，所以对学生来说处理起来很头疼。数论内容包括：整数的整除性，同余,奇数与偶数,质数与合想的地方！ 数,约数与倍数,整数的分解与分拆等。作为一个理论性比较强的专题，数论在各种杯赛中都会占不小的比重，而且数论还和数字谜,不定方程等内容有着密切的联系,其重要性是不言而喻的。 二、2012年考点预测
2012年的小升初考试将继续以填空和大题形式考查数论，命题的方向可能偏向小题考察单方面的知识点，
大题则需综合运用数的整除，质数与合数，约数倍数以及整数的分拆等方法，希望同学们全面掌握数论的几大知识点，能否在考试中取得高分解出数论的压轴大题是关键。
三、基本公式
1）已知b|c,a|c,则[a,b]|c,特别地，若(a,b)=1,则有ab|c。
[讲解练习]：若3a75b能被72整除，问a=＿＿,b=＿＿.（迎春杯试题） 2）已知c|ab，(b,c)=1,则c|a。
3）唯一分解定理：任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即
n= p1
a1× p2
a2×...×pk
ak（#)
其中p1 该式称为n的质因子分解式。 [讲解练习]：连续3的自然树的积为210，求这三个数为＿＿. 4）约数个数定理：设自然数n的质因子分解式如（#） 那么n的约数个数为d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1) 所有约数和：（1+P1+P12+…p1a1）（1+P2+P22+…p2a2）…（1+Pk+Pk2+…pkak） [讲解练习]：1996不同的质因数有＿＿个，它们的和是＿＿。（1996年小学数学奥林匹克初赛） 5) 用[a,b]表示a和b的最小公倍数，(a,b)表示a和b的最大公约数，那么有ab=[a,b]×(a,b)。 [讲解练习]：两个数的积为2646，最小公倍数为126，问这两个数的和为＿＿。（迎春杯刊赛第10题） 6）自然数是否能被3，4，25，8，125，5，7,9，11，13等数整除的判别方法。 [讲解练习]：3aa1能被9整除，问a=＿＿.（美国长岛数学竞赛第三试第3题） 7）平方数的总结： 小生初四个考点：1：平方差 A2-B2=（A+B）（A-B），其中我们还得注意A+B， A-B同奇偶性。 [讲解练习]：8-7+6-5+4-3+2-1=＿＿。 2：约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。 约数个数为3的是质数的平方。 [讲解练习]：1～100中约数个数为奇数个的所有数和为＿＿。 3：质因数分解：把数字分解，使他满足积是平方数。 [讲解练习]：a与45的乘积一个完全平方数，问a最小是＿＿。 4:平方和。 8）十进制自然数表示法，十进制和二进制，八进制，五进制等的相互转化。 9）周期性数字：abab=ab×101 [讲解练习]：2005×20062006-2006×20052005=＿＿。 22222222四、典型例题解析 1 数的整除 【例1】（★★★）将4个不同的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数（4×3×2×1=24）。将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被4整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000-4000之间。请求出这24个四位数中最大的一个。 【解】：不妨设这4个数字分别是a>b>c>d 那么从小到大的第5个就是dacb,它是5的倍数，因此b=0或5，注意到b>c>d,所以b=5; 从大到小排列的第2个是abdc,它是不能被4整除的偶数；所以c是偶数，c＜b=5，c=4或2 从小到大的第二十个是adbc,第五个是dacb,它们的差在3000-4000之间，所以a=d+4； 因为a>b,所以a至少是6，那么d最小是2，所以c就只能是4。而如果d=2，那么abdc的末2位是24，它是4的倍数，和条件矛盾。因此d=3,从而a=d+4=3+4=7。 这24个四位数中最大的一个显然是abcd,我们求得了a=7,b=5,c=4,d=3 所以这24个四位数中最大的一个是7543。 【例2】（★★★）一个5位数，它的各个位数字和为43，且能被11整除，求所有满足条件的5位数？ [思路]：现在我们有两个入手的选择，可以选择数字和，也可以选择被11整除，但我们发现被11整除性质 的运用要具体的数字，而现在没有，所以我们选择先从数字和入手 【解】：5位数数字和最大的为9×5=45，这样43的可能性只有9，9，9，9，7或9，9，9，8，8。这样我们接着用11的整除特征，发现符合条件的有99979，97999，98989符合条件。 【例3】（★★★）由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？ 【解】：各位数字和为1+3+4+5+7+8=28 所以偶数位和奇数位上数字和均为14 为了使得该数最大，首位必须是8，第2位是7，14-8=6 那么第3位一定是5，第5位为1 该数最大为875413。 [拓展]：一个三位数，它由0，1，2，7，8组成，且它能被9整除，问满足条件的总共有几个？ 【例4】（★★）一个学校参加兴趣活动的学生不到100人，其中男同学人数超过总数的4/7 ，女同学的人数超过总数的2/5 。问男女生各多少人？ 【来源】：12年理工附入学测试题 【解】：男生超过总数的4/7就是说女生少个总数的3/7，这样女生的范围在2/5～3/7之间，同理可得男生在4/7～3/5之间，这样把分数扩大，我们可得女生人数在28/70～30/70之间，所以只能是29人，这样男生为41人。 2 质数与合数（分解质因数） 【例5】（★★★）2005×684×375×□最后4位都是0,请问□里最小是几? 【解】：先分析1×2×3×4××10的积的末尾共有多少个0。由于分解出2的个数比5多，这样我们可以得 出就看所有数字中能分解出多少个5这个质因数。而能分解出5的一定是5的倍数。注意：5的倍数能分解一个5，25的倍数分解出2个5，125的倍数能分解出3个5……最终转化成计数问题，如5的倍数有[10/5]=2个。 2005=5×401 684=2×2×171 375=3×5×5×5前三个数里有2个质因子2，4个质因子5，要使得乘积的最后4位都是0 应该有4个质因子2和4个质因子5，还差2个质因子。因此□里最小是4。 [拓展]：2005×684×375×□最后4位都是0，且是7的倍数，问□里最小是_____ 【例6】（★★★）03 年101中学招生人数是一个平方数，04年由于信息发布及时，04年的招生人数比03年多了101人，也是一个平方数，问04年的招生人数？ 【解】：看见两个平方数，发现跟平方差相关，这样我们大胆的设03年的为A，04年的为B，从中我们发现04年的比03年多101人，这样我们可以列式子B- A=101 此后思路要很顺，因为看见平方差只有一种方法那就是按公式展开， 所以B- A=（A+B）（A-B）=101，可见右边的数也要分成2个数的积，还得考虑同奇偶性，但101是个质数，所以101只能分成101×1，这样A+B=101，A-B=1，所以A=50，B=51，所以04年的招生人数为51×51=2601。 [拓展]：一个数加上10，减去10都是平方数，问这个数为多少？（清华附中测试题） 3 约数和倍数 【例7】（★★★）从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。按照上面的过程不断的重复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米？ 【解】：边长是2002和847的最大公约数，可用辗转相除法求得 （2002,847）=77 所以最后剪得的正方形的边长是77毫米。 辗转相除示例： 2002÷847=2…308 求2个数的最大公约数，就用大数除以小数 847÷308=2…231 用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止 308÷231=1…77 用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止 231÷77=3 最后一个除尽的式子的除数就是两个数的最大公约数 【例8】（★★★）一根木棍长100米，现从左往右每6米画一根标记线，从右往左每5米作一根标记线，请问所有的标记线中有多少根距离相差4米？ 222222