第 三 章 气体分子热运动速率和能量的统计分布律
3-1 设有一群粒子按速率分布如下： 粒子数Ni 速率Vi（m/s）
试求(1)平均速率V；（2）方均根速率V 解：（1）平均速率：
V?22 1.00 4 2.00 6 3.00 8 4.00 2 5.00 （3）最可几速率Vp
2?1.00?4?2.00?6?3.00?8?4.00?2?5.00?3.18(m/s)
2?4?6?8?2 (2) 方均根速率
V2??NiVi2?3.37(m/s)
?Ni3-2 计算300K时，氧分子的最可几速率、平均速率和方均根速率。
解：VP?8RT2RT?2?8.31?300?395m/s
32?10?3??V????8?8.31?300?446m/s ?33.14?32?10?3?8.31?300?483m/s
32?10?3V23RT?
3-3 计算氧分子的最可几速率，设氧气的温度为100K、1000K和10000K。
解：VP?2RT?代入数据则分别为：
T=100K时 VP?2.28?102m/s T=1000K时 VP?7.21?102m/s T=10000K时 VP?2.28?103m/s
3-4 某种气体分子在温度T1时的方均根速率等于温度T2时的平均速率，求T2/T1。
解：因V2?3RT? V?8RT2??
由题意得：
3RT?8RT2???
∴T2/T1=
3? 83-5 求0℃时1.0cm3氮气中速率在500m/s到501m/s之间的分子数（在计算中可
将dv近似地取为△v=1m/s）
解：设1.0cm3氮气中分子数为N，速率在500~501m/s之间内的分子数为△N，
由麦氏速率分布律：
?V2m△ N=N?4?()2e2KT?V2??V
2?KT3m2KT
∵ Vp2= ，代入上式
m △N=
4N?V?1?V??2eVp2?V22Vp?V
因500到501相差很小，故在该速率区间取分子速率V =500m/s， 又VP?2?8.31?273?402m/s △V=1m/s ?328?10v
（ =1.24）代入计算得：△N=1.86×10－3N个 vp
3-6 设氮气的温度为300℃，求速率在3000m/s到3010m/s之间的分子数△N1
与速率在1500m/s到1510m/s之间的分子数△N2之比。 解： 取分子速率为V1=3000m/s V2=1500m/s, △V1=△V2=10m/s
由5题计算过程可得： △V1=
4N?V?1p?4NV?2eVpV?2eVp22?V122Vp?V1
△N2=
??V?1p?V222Vp?V2
∴ △N/△N2=
V12?(Vp)()?eVp(V12)eVp?(V12)VpV12
其中VP=
2?8.31?573?2.18?103m/s ?32?10v1v2
=1.375， =0.687
vpvp
?N11.3752?e?1.375 ∴ ??0.969 2?0.6872?N20.687?e2 解法2：若考虑△V1=△V2=10m/s比较大，可不用近似法，用积分法求△N1，
△N2
dN=
4N?Vp?3e?V22VPV2dV?V2V1
V1 △N1=?dN??dN??dN
00V2 △N2=?dN??dN??dN
V300V4V4V3vi
令Xi= i=1、2、3、4利用16题结果:
vp
?Vi0dN?N[erf(xi)?22?xie?xi
22∴ △N1=N[erf(x2)?2?xie?x2]?N[erf(x1)?22?x1e?x1] （1）
2 △N2=N[erf(x4)??x4e?x4]?N[erf(x3)?2?x3e?x3] （２）
2其中VP=
2RT??2.182?103m/s
x1?V1V?1.375 x2?2?1.379 VPVPV3V?0.687 x4?4?0.6722 VPVPx3?查误差函数表得：
erf(x1)=0.9482 erf(x2)=0.9489 erf(x3)=0.6687 erf(x4)=0.6722
将数字代入（１）、（２）计算，再求得：
?N1?0.703 ?N2
3-7 试就下列几种情况，求气体分子数占总分子数的比率： （1） 速率在区间vp～1.0vp1内 （2） 速度分量vx在区间vp～1.0vp1内
（3） 速度分量vp、vp、vp同时在区间vp～1.0vp1内
解：设气体分子总数为N，在三种情况下的分子数分别为△N1、△N2、△N3 （1） 由麦氏速率分布律： △ N=?dN??dN??dN
V100V2V2V1令v2=1.01vp，vi=vp，xi?题结果可得；
vivv，则x1?1?1，x2?2?1.01，利用16vpvpvp22?N122?erf(x2)?x2e?x2?erf(x1)?x1e?x1 N??查误差函数表：erf（x1）=0.8427 erf（x2）=0.8468 ∴
?N1?0.008 N（2） 由麦氏速率分布律：
dNx?N?Nve?1p?2vxv2pdvx
?(vx2)vp∴?N2??1v?p?e0v2dvx?N?1v?p?e0v1?(vx2)vpdvx
?N21?N??v2vp0vv1exp[?(x)2]d(x)?vpvp??v1vp0exp[?(vx2v)]d(x) vpvp令x?vxvv， x1?1?1，x2?2?1.01 vpvpvp?N21?∴N??x20e?x2dx?1??x10e?x2?dx
利用误差函数：
erf(x)?2??x0exp(?x2)dx
?N21?[erf(x2)?erf(x1)N2 1?[0.8468?0.8427]?0.21%2（3）令x?vx，由麦氏速度分布律得： vp?22vx?v2y?vzdN313?v?peN??v2p?dvxdvydvz
23x1?x1?N313x2?x2?()[?edx??edx]00N?
?N23?()?(0.002)3?0.8?10?8N2
3-8根据麦克斯韦速率分布函数，计算足够多的点，以dN/dv为纵坐标，v为横坐标，作1摩尔氧气在100K和400K时的分子速率分布曲线。 解：由麦氏速率分布律得：
?v2dNm22KT?4?N()ev2 dv2?KT3m