?NVx???????vxdNvxvx0??
N 2?2vx0dNx??dNvx由题意：
?0dNvx??vx0dNvx?N??vx0ve?1pv2p?dvx
令x?vx vp利用误差函数得：
?vx0dNvx?N2?2??x0e?xdx2?Nerf(x)2NVx???NN?22erf(x)
∴
?N[1?erf(x)]2
3-16 设气体分子的总数为N，试证明速率在0到任一给定值v之间的分子数为：
?N0?v?N[erf(x)?2?e?x]
2其中x?v，vp为最可几速率。 vp?x2[提示：d(xe证明：
)?e?x2dx?2xe2?x2dx]
?N0?v?N?f(v)dv0v?N???v0?v2m4?()2e2KTv2dv2?KT3m4N?4N??v0v3v?pev2v2p?v2v2p
v2dvv2?dvv2p?0e?v?1p令X?v ，则dv?vpdx vp∴?N0?v?4N?2?x0e?xx2dx
21?x2[edx?d(xe?x)x] 22由提示得：xe?xdx?4Nx1x?x2?x2?N0?v??[edx??d(xe)]0?2?0∴
22?x?N[erf(x)?e]?
3-17 求速度分量vx大于2 vp的分子数占总分子数的比率。
解：设总分子数N，速度分量vx大于2 vp的分子数由15题结果得：
N?N2vx???[1?erf(x)]
2其中x?2vpv??2 vpvp可直接查误差函数表得：erf（2）=0.9952
也可由误差函数： erf（z）=
2z3z6z9z??[z???????]
1!?33!?74!?95!?11?将z=2代入计算得：
erf（2）=0.9752 ∴
?N2vp??N?1?0.9952?0.24%
2
3-18 设气体分子的总数为N，求速率大于某一给定值的分子数，设（1）v=vp
（2）v=2vp，具体算出结果来。 解：（1）v=vp时，速率大于vp的分子数：
?N1?N??vf(v)dv?N[??0f(v)dv??f(v)dv]
0v利用16题结果：
?N?N[1?erf(x)?v?1 vp2?xe?x]
2这里x?∴?N1?N[1?0.8427?0.41]?0.57N （2）v=2vp时，x?v?2，则速率大于2vp的分子数为： vp?N2?N[1?erf(2)?2?2?e?4]?0.046N
3-19 求速率大于任一给定值v的气体分子每秒与单位面积器壁的碰撞次数。
解：由18题结果可得单位体积中速率大于v的分子数为：
nv???n[1?erf(x)?2?xe?x2],(n?N) V在垂直x轴向取器壁面积dA，则速率大于v能与dA相碰的分子，其vx仍在0～?间，由《热学》P30例题，每秒与单位面积器壁碰撞的速率大于v的分子数为：
?N????0nv??f(vx)vxdvx?1vnv??4212?nv[1?erf(x)?xe?x]4?
x?v vp
3-20 在图3-20所示的实验装置中，设铋蒸汽的温度为T=827K，转筒的直径为
D=10cm，转速为ω=200πl/s，试求铋原子Bi和Bi2分子的沉积点P′到P点（正对着狭缝s3）的距离s，设铋原子Bi和Bi2分子都以平均速率运动。
解：铋蒸汽通过s3到达P′处的时间为：
t?D在此时间里R转过的弧长为： v1?D2S?D?t?
22v∵?Bi?209 ?Bi2?418 ∴SBi??D22v??D22??Bi8RT
代入数据得：
SBi??D22??Bi8RT?1.53(cm)
3-21 收音机的起飞前机舱中的压力计批示为1.0atm，温度为270C；起飞后压力计指示为0.80atm，温度仍为27 0C，试计算飞机距地面的高度。
解：根据等温气压公式： P=P0e - 有In = - ∴ H = - In ?
其中In =In = -0.223，空气的平均分子量u=29. ∴H= 0.223× =2.0×103(m)
3-22 上升到什么高度处大气压强减为地面的75%？设空气的温度为0 0C.
解：由题意知： =0.75 故H = -In ? 代入数据得：H =2.3×103(m)
3-23 设地球大气是等温的，温度为t=5.0 0C,海平面上的气压为P0=750mmHg,令测得某山顶的气压P=590mmHg,求山高。已知空气的平均分子量为28.97.
解：H = - In ? 代入数据得：H=2.0×103(m)
3-24 根据麦克斯韦速度分布律，求气体分子速度分量vx的平均值，并由此推出气体分子每一个平动自由度所具有的平动能。
解：（1） x=∫∞ -∞vx2f(vx)dv x =2 ∫∞ 0vx2( ) e - vx2dv x
= v -1p∫∞ 0vx2 e - vx2dv x
查《热学》附录3-1表得：
x= Vp-1( )3/2= 同理可得： y= x=
(2)分子总的平动能： 2= 2= = m x=
同理得： = =
可见，气体分子的平均动能按自由度均分，都等于 KT.
3-25 令ε= mv2表示气体分子的平动能，试根据麦克斯韦速率分布律证明，平动能在区间ε～ε+dε内的分子数占总分子数的比率为： f(ε)dε= (KT) -3/2ε ?e-ε/KT?dε
根据上式求分子平动能ε的最可几值。 证明：（1） ∵ f(v)dv =4∏( )3/2?e v2v2dv = (KT) -3/2?( v2)1/2?e-mv2/2KT?d( ) ∵ ε= mv2 故上式可写作：
F(ε)dε= (KT) -3/2?ε ?e -ε/KT?dε (2) 求ε最可几值即f(ε)为极大值时对应的ε值。
= (KT) -3/2 [ε ?e -ε/KT(- )+e- ? ε- ] = (KT) -3/2e - ( ε- -ε /KT)=0 ∴ ε- -ε =0 得: εp = ε =
3-26 温度为27 0C时，一摩尔氧气具有多少平动动能？多少转动动能？
解：氧气为双原子气体，在T=300K下有三个平动自由度，两个转动自由度。 由能均分定理得：
ε= RT = ×8.31×300 = 3.74×103 (J) = RT = 8.31×300 = 2.49×103(J)