热学(李椿+章立源+钱尚武)习题解答-第-三-章--气体分子热活动速度和能量的统计分布律

?NVx???????vxdNvxvx0??

N 2?2vx0dNx??dNvx由题意:

?0dNvx??vx0dNvx?N??vx0ve?1pv2p?dvx

令x?vx vp利用误差函数得:

?vx0dNvx?N2?2??x0e?xdx2?Nerf(x)2NVx???NN?22erf(x)

?N[1?erf(x)]2

3-16 设气体分子的总数为N,试证明速率在0到任一给定值v之间的分子数为:

?N0?v?N[erf(x)?2?e?x]

2其中x?v,vp为最可几速率。 vp?x2[提示:d(xe证明:

)?e?x2dx?2xe2?x2dx]

?N0?v?N?f(v)dv0v?N???v0?v2m4?()2e2KTv2dv2?KT3m4N?4N??v0v3v?pev2v2p?v2v2p

v2dvv2?dvv2p?0e?v?1p令X?v ,则dv?vpdx vp∴?N0?v?4N?2?x0e?xx2dx

21?x2[edx?d(xe?x)x] 22由提示得:xe?xdx?4Nx1x?x2?x2?N0?v??[edx??d(xe)]0?2?0∴

22?x?N[erf(x)?e]?

3-17 求速度分量vx大于2 vp的分子数占总分子数的比率。

解:设总分子数N,速度分量vx大于2 vp的分子数由15题结果得:

N?N2vx???[1?erf(x)]

2其中x?2vpv??2 vpvp可直接查误差函数表得:erf(2)=0.9952

也可由误差函数: erf(z)=

2z3z6z9z??[z???????]

1!?33!?74!?95!?11?将z=2代入计算得:

erf(2)=0.9752 ∴

?N2vp??N?1?0.9952?0.24%

2

3-18 设气体分子的总数为N,求速率大于某一给定值的分子数,设(1)v=vp

(2)v=2vp,具体算出结果来。 解:(1)v=vp时,速率大于vp的分子数:

?N1?N??vf(v)dv?N[??0f(v)dv??f(v)dv]

0v利用16题结果:

?N?N[1?erf(x)?v?1 vp2?xe?x]

2这里x?∴?N1?N[1?0.8427?0.41]?0.57N (2)v=2vp时,x?v?2,则速率大于2vp的分子数为: vp?N2?N[1?erf(2)?2?2?e?4]?0.046N

3-19 求速率大于任一给定值v的气体分子每秒与单位面积器壁的碰撞次数。

解:由18题结果可得单位体积中速率大于v的分子数为:

nv???n[1?erf(x)?2?xe?x2],(n?N) V在垂直x轴向取器壁面积dA,则速率大于v能与dA相碰的分子,其vx仍在0~?间,由《热学》P30例题,每秒与单位面积器壁碰撞的速率大于v的分子数为:

?N????0nv??f(vx)vxdvx?1vnv??4212?nv[1?erf(x)?xe?x]4?

x?v vp

3-20 在图3-20所示的实验装置中,设铋蒸汽的温度为T=827K,转筒的直径为

D=10cm,转速为ω=200πl/s,试求铋原子Bi和Bi2分子的沉积点P′到P点(正对着狭缝s3)的距离s,设铋原子Bi和Bi2分子都以平均速率运动。

解:铋蒸汽通过s3到达P′处的时间为:

t?D在此时间里R转过的弧长为: v1?D2S?D?t?

22v∵?Bi?209 ?Bi2?418 ∴SBi??D22v??D22??Bi8RT

代入数据得:

SBi??D22??Bi8RT?1.53(cm)

3-21 收音机的起飞前机舱中的压力计批示为1.0atm,温度为270C;起飞后压力计指示为0.80atm,温度仍为27 0C,试计算飞机距地面的高度。

解:根据等温气压公式: P=P0e - 有In = - ∴ H = - In ?

其中In =In = -0.223,空气的平均分子量u=29. ∴H= 0.223× =2.0×103(m)

3-22 上升到什么高度处大气压强减为地面的75%?设空气的温度为0 0C.

解:由题意知: =0.75 故H = -In ? 代入数据得:H =2.3×103(m)

3-23 设地球大气是等温的,温度为t=5.0 0C,海平面上的气压为P0=750mmHg,令测得某山顶的气压P=590mmHg,求山高。已知空气的平均分子量为28.97.

解:H = - In ? 代入数据得:H=2.0×103(m)

3-24 根据麦克斯韦速度分布律,求气体分子速度分量vx的平均值,并由此推出气体分子每一个平动自由度所具有的平动能。

解:(1) x=∫∞ -∞vx2f(vx)dv x =2 ∫∞ 0vx2( ) e - vx2dv x

= v -1p∫∞ 0vx2 e - vx2dv x

查《热学》附录3-1表得:

x= Vp-1( )3/2= 同理可得: y= x=

(2)分子总的平动能: 2= 2= = m x=

同理得: = =

可见,气体分子的平均动能按自由度均分,都等于 KT.

3-25 令ε= mv2表示气体分子的平动能,试根据麦克斯韦速率分布律证明,平动能在区间ε~ε+dε内的分子数占总分子数的比率为: f(ε)dε= (KT) -3/2ε ?e-ε/KT?dε

根据上式求分子平动能ε的最可几值。 证明:(1) ∵ f(v)dv =4∏( )3/2?e v2v2dv = (KT) -3/2?( v2)1/2?e-mv2/2KT?d( ) ∵ ε= mv2 故上式可写作:

F(ε)dε= (KT) -3/2?ε ?e -ε/KT?dε (2) 求ε最可几值即f(ε)为极大值时对应的ε值。

= (KT) -3/2 [ε ?e -ε/KT(- )+e- ? ε- ] = (KT) -3/2e - ( ε- -ε /KT)=0 ∴ ε- -ε =0 得: εp = ε =

3-26 温度为27 0C时,一摩尔氧气具有多少平动动能?多少转动动能?

解:氧气为双原子气体,在T=300K下有三个平动自由度,两个转动自由度。 由能均分定理得:

ε= RT = ×8.31×300 = 3.74×103 (J) = RT = 8.31×300 = 2.49×103(J)

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