习题一解答
1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A：
(1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件A?{两次出现的面相同}； (2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件A?{一分钟内呼叫次数不超过3次}；
(3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件A?{寿命在2000到2500小时之间}。
解 (1) ??{(?,?),(?,?),(?,?),(?,?)}， A?{(?,?),(?,?)}. (2) 记X为一分钟内接到的呼叫次数，则
??{X?k|k?0,1,2,??}， A?{X?k|k?0,1,2,3}.
(3) 记X为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则
??{X?(0,??)}， A?{X?(2000,2500)}.
2. 袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设A?{取得球的号码是偶数}，B?{取得球的号码是奇数}，C?{取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：
(1)A?B；(2)AB；(3)AC；(4)AC；(5)AC；(6)B?C；(7)A?C. 解 (1) A?B??是必然事件； (2) AB??是不可能事件；
(3) AC?{取得球的号码是2，4}；
(4) AC?{取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；
(5) AC?{取得球的号码为奇数，且不小于5}?{取得球的号码为5，7，9}；
(6) B?C?B?C?{取得球的号码是不小于5的偶数}?{取得球的号码为6，8，10}；
(7) A?C?AC?{取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}
3. 在区间[0,2]上任取一数，记A???1??13??x2?x?1??，B???x4?x?2??，
求下列事件的表达式：(1)A?B；(2)AB；(3)AB；(4)A?B.
解 (1) A?B???13??x4?x?2??;
(2)
AB????x0?x?12或1?x?2???11??3???B???x4?x?2?????x1?x?2??;
(3) 因为A?B，所以AB??； (4)
A?B?A???13??x0?x?4或2?x?2??????x0?x?14或13?2?x?1或2?x?2?? 4. 用事件A,B,C的运算关系式
表示下列事件：
(1) A出现，B,C都不出现（记为E1）； (2) A,B都出现，C不出现（记为E2）； (3) 所有三个事件都出现（记为E3）； (4) 三个事件中至少有一个出现（记为E4）； (5) 三个事件都不出现（记为E5）； (6) 不多于一个事件出现（记为E6）； (7) 不多于两个事件出现（记为E7）； (8) 三个事件中至少有两个出现（记为E8）。 解 (1)E1?ABC； (2)E2?ABC； (3)E3?ABC； (4)E4?A?B?C；
(5)E5?ABC； (6)E6?ABC?ABC?ABC?ABC； (7)E7?ABC?A?B?C；(8)E8?AB?AC?BC.
5. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设Ai表示事件“第i次抽到废品”，i?1,2,3，试用Ai表示下列事件：(1) 第一次、第二次中至少有一次抽到废品； (2) 只有第一次抽到废品； (3) 三次都抽到废品；
(4) 至少有一次抽到合格品；
(2) 只有两次抽到废品。
解 (1)A1?A2； (2)A1A2A3； (3)A1A2A3；
(4)A1?A2?A3； (5)A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3.
6. 接连进行三次射击，设Ai={第i次射击命中}，i?1,2,3，B?{三次射击恰好命中二次}，C?{三次射击至少命中二次}；试用Ai表示B和
C。
解 B?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3 C?A1A2?A1A3?A2A3
习题二解答
1．从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率。
解 这是不放回抽取，样本点总数n???50???3???，记求概率的事件为A，
则有利于A的样本点数k???45??5???2??????1???. 于是
?k?45???2???5?????1??P(A)????45?44?5?3!n??99 ?5050?49?48?2!392???3???2．一口袋中有5个红球及2个白球，从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然后，再从这袋中任取一球，设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同。求
(1) 第一次、第二次都取到红球的概率；
(2) 第一次取到红球，第二次取到白球的概率； (3) 二次取得的球为红、白各一的概率； (4) 第二次取到红球的概率。
解 本题是有放回抽取模式，样本点总数n?72. 记(1)(2)(3)(4)题求概率的事件分别为A,B,C,D.
2(ⅰ)有利于A的样本点数kP(A)???5?25A?52，故 ?7???49
(ⅱ) 有利于B的样本点数k5?210B?5?2，故 P(B)?72?49
(ⅲ) 有利于C的样本点数k2，故 P(C)?20C?2?5?49
(ⅳ) 有利于D的样本点数k7?5355D?7?5，故 P(D)?72?49?7.
3．一个口袋中装有6只球，分别编上号码1至6，随机地从这个口袋中取2只球，试求：(1) 最小号码是3的概率；(2) 最大号码是3的概率。
解 本题是无放回模式，样本点总数n?6?5.
(ⅰ) 最小号码为3，只能从编号为3，4，5，6这四个球中取2只，
且有一次抽到3，因而有利样本点数为2?3，所求概率为 2?316?5?5.
(ⅱ) 最大号码为3，只能从1，2，3号球中取，且有一次取到3，于
是有利样本点数为2?2，所求概率为 2?226?5?15.
4．一个盒子中装有6只晶体管，其中有2只是不合格品，现在作不放回抽样，接连取2次，每次取1只，试求下列事件的概率：
(1) 2只都合格；
(2) 1只合格，1只不合格； (3) 至少有1只合格。
解 分别记题(1)、(2)、(3)涉及的事件为A,B,C，则
??4??P(A)??2?????4?3?22?6?6?5?2?5 ??2?????4??2??P(B)??1??????1?????4?2?2?8 ?6??6?515?2???注意到C?A?B，且A与B互斥，因而由概率的可加性知
P(C)?P(A)?P(B)?28145?15?15
5．掷两颗骰子，求下列事件的概率：
(1) 点数之和为7；(2) 点数之和不超过5；(3) 点数之和为偶数。 解 分别记题(1)、(2)、(3)的事件为A,B,C,样本点总数n?62 (ⅰ)A含样本点(2,5),(5,2),(1,6),(6,1),(3,4),(4,3)
?P(A)?6162?6
(ⅱ)B含样本点(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2)
?P(B)?10562?18
(ⅲ)C含样本点(1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1);(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,3), (3,5),(5,3);(4,4),(4,6),(6,4);(5,5);(6,6), 一共18个样本点。
?P(C)?18136?2
6．把甲、乙、丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去，假设每间宿舍最多可住8人，试求这三名学生住不同宿舍的概率。
解 记求概率的事件为A，样本点总数为53，而有利A的样本点数为
5?4?3，所以 P(A)?5?4?31253?25. 7．总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位，求下列事件的概率：
(1) 事件A：“其中恰有一位精通英语”； (2) 事件B：“其中恰有二位精通英语”； (3) 事件C：“其中有人精通英语”。
解 样本点总数为??5???3???
??2???3?(1) P(A)??1??????2?????2?3?3!63?55?4???； ??3105?3?????2??3??(2) P(B)??2??????1?????3?3!?3； ?5??5?4?310?3???(3) 因C?A?B，且A与B互斥，因而
P(C)?P(A)?P(B)?3395?10?10. 8．设一质点一定落在xOy平面内由x轴、y轴及直线x?y?1所围成的三角形内，而落在这三角形内各点处的可能性相等，计算这质点落在直S/3A 线x?1的左边的概率。
1 解 记求概率的事件为A，则SA
y为图中阴影部分，而|?|?1/2，
2|S11?2?155? A|?2?2??3???2?9?18
h 最后由几何概型的概率计算公式可得
P(A)?|SA|5/185|?|?1/2?9. O 1/3 1 x9．（见前面问答题2. 3）
图2.3 10．已知A?B，P(A)?0.4，P(B)?0.6，求 (1)P(A),P(B)；(2)P(A?B)；(3)P(AB)；(4)P(BA),P(AB)；(5)P(AB). 解 (1)P(A)?1?P(A)?1?0.4?0.6，P(B)?1?P(B)?1?0.6?0.4； (2)P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?P(A)?P(B)?P(A)?P(B)?0.6； (3)P(AB)?P(A)?0.4；