2018版高考数学一轮复习 第四章 三角函数与解三角形 4.7 正弦定
理和余弦定理真题演练集训 理 新人教A版
1
1．[2014·新课标全国卷Ⅱ]钝角三角形ABC的面积是，AB＝1 ，BC＝2，则AC＝( )
2A．5 C．2 答案：B
11
解析：由题意可得AB·BC·sin B＝，
22又AB＝1 ，BC＝2，所以sin B＝所以B＝45°或B＝135°. 当B＝45°时，由余弦定理可得
2
， 2
B.5 D．1
AC＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝1，
此时AC＝AB＝1，BC＝2，易得A＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．所以B＝135°.
由余弦定理可得
AC＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝5.
2．[2014·新课标全国卷Ⅰ]已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为________．
答案：3
解析：∵＝＝＝2R，a＝2，又(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C可
sin Asin Bsin C化为(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，∴a－b＝c－bc，∴b＋c－a＝bc.
2
2
2
2
2
2
abcb2＋c2－a2bc1∴＝＝＝cos A，∴A＝60°.
2bc2bc2
∵△ABC中，4＝a＝b＋c－2bc·cos 60°＝b＋c－bc≥2bc－bc＝bc(当且仅当b＝c时等号成立)，
113
∴S△ABC＝·bc·sin A≤×4×＝3.
222
4
3．[2016·新课标全国卷Ⅱ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，55
cos C＝，a＝1，则b＝________.
13
2
2
2
2
2
21答案： 13
45
解析：解法一：因为cos A＝5，cos C＝13，
所以sin A＝312
5，sin C＝13
，
从而sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C ＝354125×13＋5×13＝63
65
. 由正弦定理abasin B21
sin A＝sin B，得b＝sin A＝13
.
解法二：因为cos A＝45
5，cos C＝13，
所以sin A＝35，sin C＝12
13
，
从而cos B＝－cos(A＋C)＝－cos Acos C＋sin Asin C＝－45×513＋35×1216
13＝65
.
由正弦定理asin A＝csin C，得c＝asin C20
sin A＝13
.
由余弦定理b2＝a2＋c2
－2accos B，得b＝2113
.
解法三：因为cos A＝45，cos C＝513，所以sin A＝35，sin C＝12
13
，
由正弦定理asin A＝csin C，得c＝asin Csin A＝20
13
.
从而b＝acos C＋ccos A＝21
13.
解法四：如图，作BD⊥AC于点D，
由cos C＝5512
13，a＝BC＝1，知CD＝13，BD＝13
. 2
4316
又cos A＝，所以tan A＝，从而AD＝. 541321
故b＝AD＋DC＝. 13
4．[2016·新课标全国卷Ⅰ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos
B＋bcos A)＝c.
(1)求C；
33(2)若c＝7，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
2解：(1)由已知及正弦定理，得
2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C， 2cos Csin(A＋B)＝sin C，
故2sin Ccos C＝sin C，C∈(0，π)． 1π
可得cos C＝，所以C＝. 23133
(2)由已知，absin C＝. 22π
又C＝，所以ab＝6.
3
由已知及余弦定理，得a＋b－2abcos C ＝7， 故a＋b＝13，从而(a＋b)＝25. 所以△ABC的周长为5＋7.
课外拓展阅读
转化与化归思想在解三角形中的应用
[典例] [2016·新课标全国卷Ⅰ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos
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22
2
C(acos B＋bcos A)＝c.
(1)求C；
33(2)若c＝7，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
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[审题视角] (1)利用正弦定理进行边角互化求解；(2)利用三角形的面积公式得出ab，再结合余弦定理联立方程求出a＋b，进而求得△ABC的面积．
[解] (1)由已知及正弦定理得， 2cos CAcos B＋sin Bcos A＝sin C，①
2cos Csin(A＋B)＝sin C．故2sin Ccos C＝sin C.
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