3.1.1方程的根与函数的零点（教学设计）
教学目标：
知识与技能：理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．
过程与方法：零点存在性的判定．
情感、态度、价值观：在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值． 教学重点：
重点：零点的概念及存在性的判定． 难点：零点的确定． 一、复习回顾，新课导入
讨论：一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的根与二次函数y?ax?bx?c(a?0)数的图象有什么关系？ 先观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数，分别选取方程有两个不同的根、重根和无实数根三种类型．
2方程x?2x?3?0与函数y?x?2x?3； 2方程x?2x?1?0与函数y?x?2x?1； 2方程x?2x?3?0与函数y?x?2x?3；
22222
再请同学们解方程，并分别画出三个函数的草图．
一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)有两不同根就是相应的二次函数y?ax?bx?c?0的图象与x轴有两个不同交点，且其横坐标就是根；
一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)有两个重根就是相应的二次函数y?ax?bx?c?0的图象与x轴一个交点，且其横坐标就是根；
一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)无实数根就是相应的二次函数y?ax?bx?c?0的图象与x轴没有交点；
总之，一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的根就是相应的二次函数y?ax?bx?c?0的图象与x轴的交点的横坐标． 二、师生互动，新课讲解： 1、函数的零点
对于函数y?f(x)，我们把使f(x)?0的实数x叫做函数y?f(x)的零点（zero point）．
显然，函数y?f(x)的零点就是方程f(x)?0的实数根，也就是函数y?f(x)的图象与x轴的交点的横坐
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标．
方程f(x)?0有实数根?函数y?f(x)的图象与x轴有交点?函数y?f(x)有零点．
2、函数零点的判定：
研究方程的实数根也就是研究相应函数的零点，也就是研究函数的图象与x轴的交点情况。 问题1： 如果把函数比作一部电影，那么函数的零点就像是电影的一个瞬间，一个镜头。有时我们会忽略一些镜头，但是我们仍然能推测出被忽略的片断。现在我有两组镜头（如图，第一组第一行两图，第二组第二行两图），
哪一组能说明他的行程一定曾渡过河？
第Ⅰ组能说明他的行程中一定曾渡过河，而第Ⅱ组中他的行程就不一定曾渡过河。
问题2：将河流抽象成x轴，将前后的两个位置视为A、B两点。请问当A、B与x轴怎样的位置关系时，AB间的一段连续不断的函数图象与x轴一定会有交点？
A、B两点在x轴的两侧。
问题3： A、B与x轴的位置关系，如何用数学符号（式子）来表示？ A、B两点在x轴的两侧。可以用f（a）·f（b）<0来表示。
问题4： 满足条件的函数图象与x轴的交点一定在（a，b）内吗？即函数的零点一定在（a，b）内吗？ 一定在区间（a，b）上。若交点不在（a，b）上，则它不是函数图象。
通过上述探究，让学生自己概括出零点存在性定理： 一般地，我们有：
如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线并且有f（a）·f（b）<0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）＝0的根．
⑴函数零点的意义：
函数y?f(x)的零点就是方程f(x)?0实数根，亦即函数y?f(x)的图象与x轴交点的横坐标． 即：方程f(x)?0有实数根?函数y?f(x)的图象与x轴有交点?函数y?f(x)有零点． ⑵函数零点的求法：求函数y?f(x)的零点： ①（代数法）求方程f(x)?0的实数根；
②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y?f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
⑶二次函数的零点：y?ax?bx?c(a?0)．
① △＞０，方程ax?bx?c?0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．
22② △＝０，方程ax?bx?c?0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
2③ △＜０，方程ax?bx?c?0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点． 课堂练习：（课本P88练习 NO：1）
2例1： 观察下表，分析函数f(x)?3x?6x?1在定义域内是否存在零点？
－2 -109 －1 -10 0 -1 1 8 2 107 5 分析：函数图象是连续不断的，又因为，所以在区间（0，1）上必存在零点。
我们也可以通过计算机作图（如图）帮助了解零点大致的情况。
变式训练1：
（1）已知函数f (x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表，则函数在哪几个区间内有零点？为什么？
x f (x) 1 20 2 -5.5 3 -2 4 6 6 18 10 -3 （2）函数f(x)=(x+4)(x-4)(x+2)在区间[-5，6]上是否存在零点？若存在，有几个？ (3)观察下面函数y?f(x)的图象