数列求和与综合应用
【考纲要求】
1．熟练掌握等差数列和等比数列的求和公式； 2. 掌握数列的通项an与前n项和Sn之间的关系式
3．注意观察数列的特点和规律，在分析通项的基础上分解为基本数列求和或转化为基本数列求和，熟练掌握求数列的前n项和的几种常用方法；
4.能解决简单的实际问题. 【知识网络】
公式法 分组求和
数列前n项和
错位相减 倒序相加 裂项相消
综合应用
与函数、方程、不等式等 与几何、实际问题等
【考点梳理】
纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率、银行信贷、浓度匹配、养老保险、圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度.
与计算有关的问题主要有：求数列的某项，确定数列的通项公式，求有穷数列或无穷数列之和，计算数列的极限，将数列与方程，与不等式，与某些几何问题等联系起来，从而解决有关问题.
有关定性问题的论证问题主要有：考察或论证数列的单调性，将数列分类定性，考察数列的图像特征，考察数列的极限存在与否等等.
有关实际应用问题：某些与非零自然数有关的实际应用题，可用数列的各项与之对应，然后利用数列有关知识解答此类应用题.
数列的函数属性：因数列是函数的特例，故解答有关问题时，常与函数知识联系起来考虑. 【典型例题】
类型一：数列与函数的综合应用
例1.对于数列{an}，规定数列{?an}为数列{an}的一阶差分数列，其中?an?an?1?an(n?N*)；
1
kkk?1k?1一般地，规定{?an}为{an}的k阶差分数列，其中?an??an?1??an且k∈N*，k≥2。
（1）已知数列{an}的通项公式an?5213n?n(n?N*)。试证明{?an}是等差数列； 22?an?1an??n?n?12??222n?1(n?N*)，求数列?（2）若数列{an}的首项a1=―13，且满足?an??an?1?an??2及{an}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，判断an是否存在最小值；若存在，求出其最小值，若不存在，说明理由。 解析：（1）依题意：?an?an?1?an， ∴?an?[(n?1)?52213513(n?1)]?[n2?n]?5n?4 222∴?an?1??an?[5(n?1)?4]?(5n?4)?5， ∴数列{?an}是首项为1，公差为5的等差数列。
an?1an2nn?1na?2?17?2?(n?1,n?N*) ，??2nn?1n22172（3）令f(x)?x?x，
217则当x?(??,)时，函数f(x)单调递减；
417当x?(,??)时，函数f(x)单调递增；
417n2nn?1n2又因an?2?17?2?(2)??2，
217172而|2?|?|23?|，
44（2）
所以当n=2时，数列an存在最小值，其最小值为－18。 举一反三：
【变式1】已知数列{an}的首项a1?（Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的x?0，an?3an3，an?1?，n?1，2，L．
2an?15112?(?x)，n?1，2，L； 2n1?x(1?x)3n2（Ⅲ）证明：a1?a2?L?an?．
n?1 2
解析：（Ⅰ）Qan?1?3an121111???1?(?1)， ，?，?2an?1an?133anan?13an又
12121?1?，?{?1}是以为首项，为公比的等比数列． an3an333n1212??1??n?1?n，?an?n． an3333?2（Ⅱ）设f(x)?112?(?x)， 2n1?x(1?x)3则f?(x)??1?2(1?x)?(1?x)2?(22?x)?2(1?x)2(?x)n3n3? 22(1?x)(1?x)Qx?0，?当x?22?时，；当时，f?(x)?0， x?f(x)?0nn33221?当x?n时，f(x)取得最大值f(n)??an．
2331?n3?原不等式成立．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的x?0，有
a1?a2?L?an≥112112112?(?x)??(?x)?L??(?x) 1?x(1?x)231?x(1?x)2321?x(1?x)23n?n1222?(??L??nx)． 22n1?x(1?x)33321(1?n)22212223?1(1?1)， ?令?2?L?n?nx?0，则x?(?2?L?n)?3n1333n333n3n(1?)3nnn2n2?a1?a2?L?an≥???．
1111?x1?(1?)n?1?n?1nnn33?原不等式成立．
【高清课堂：函数的极值和最值388566 典型例题三】
【变式2】已知数列{an}和{bn}满足：a1其中?为实数，n为正整数.
??，an?1?2an?n?4，bn?(?1)n?an?3n?21?33