ω?由式(2)得
v?2gcosα/rr
mv2?mgcosα?3mgcosα FN?mr???FN??3mgcosα FN由此可得小球对圆轨道的作用力为
负号表示F′N 与en 反向．
2 -17 光滑的水平桌面上放置一半径为R 的固定圆环,物体紧贴环的内侧作圆周运动,其摩擦因数为μ,开始时物体的速率为v0 ,求：(1) t 时刻物体的速率；(2) 当物体速率从v0减少v0及经过的路程．
/2时,物体所经历的时间
题 2-17 图
分析 运动学与动力学之间的联系是以加速度为桥梁的,因而,可先分析动力学问题．物体在作圆周运动的过程中,促使其运动状态发生变化的是圆环内侧对物体的支持力FN 和环与物体之间的摩擦力Fｆ ,而摩擦力大小与正压力FN′成正比,且FN与FN′又是作用力与反作用力,这样,就可通过它们把切向和法向两个加速度联系起来了,从而可用运动学的积分关系式求解速率和路程． 解 (1) 设物体质量为m,取图中所示的自然坐标,按牛顿定律,有
mv2FN?man?
RFf??mat??由分析中可知,摩擦力的大小Fｆ＝μFN ,由上述各式可得
dv dtv2dvμ?? Rdt取初始条件t ＝0 时v ＝v 0 ,并对上式进行积分,有
?t0dt??Rvdv
μ?v0v2
v?Rv0R?v0μt 25
(2) 当物体的速率从v 0 减少到v0/2时,由上式可得所需的时间为
t??物体在这段时间内所经过的路程
Rμv0
s??vdt??0t?t?0Rv0dt
R?v0μts?Rln2 μ2
2 -18 一物体自地球表面以速率v0 竖直上抛．假定空气对物体阻力的值为Fr ＝kmv ,其中m 为物体的质量,k 为常量．试求：(1) 该物体能上升的高度；(2)物体返回地面时速度的值．(设重力加速度为常量．)
题 2-18 图
分析 由于空气对物体的阻力始终与物体运动的方向相反,因此,物体在上抛过程中所受重力P和阻力Fr 的方向相同；而下落过程中,所受重力P 和阻力Fr 的方向则相反．又因阻力是变力,在解动力学方程时,需用积分的方法．
解 分别对物体上抛、下落时作受力分析,以地面为原点,竖直向上为y 轴(如图所示)．(1) 物体在上抛过程中,根据牛顿定律有
?mg?kmv2?m依据初始条件对上式积分,有
dvvdv?m dtdy?y0dy???0v0vdvg?kv2
1?g?kv2?? y??ln?2??2k?g?kv0?物体到达最高处时, v ＝0,故有
2?1?g?kv0? h?ymax?ln???2k?g? 26
(2) 物体下落过程中,有
?mg?kmv2?m对上式积分,有
vdv dy?y0dy????1/20v0vdvg?kv2
?kv2?则 v?v0??1?g????
2 -19 质量为m 的摩托车,在恒定的牵引力F的作用下工作,它所受的阻力与其速率的平方成正比,它能达到的最大速率是vm ．试计算从静止加速到vm/2所需的时间以及所走过的路程．
分析 该题依然是运用动力学方程求解变力作用下的速度和位置的问题,求解方法与前两题相似,只是在解题过程中必须设法求出阻力系数k．由于阻力Fr＝kv ,且Fr又与恒力F 的方向相反；故当阻力随速度增加至与恒力大小相等时,加速度为零,此时速度达到最大．因此,根据速度最大值可求出阻力系数来．但在求摩托车所走路程时,需对变量作变换．
解 设摩托车沿x 轴正方向运动,在牵引力F和阻力Fr 同时作用下,由牛顿定律有
2
F?kv2?m当加速度a ＝dv/dt ＝0 时,摩托车的速率最大,因此可得
dv (1) dtk＝F/vm2 (2)
由式(1)和式(2)可得
?v2?dv? (3) F?1??m?v2?dtm??根据始末条件对式(3)积分,有
?1?则 t又因式(3)中mt0dt?mF?1vm20?v2???1?v2??dv
m???mvmln3 2Fdvmvdv,再利用始末条件对式(3)积分,有 ?dtdx?x0dx?mF?1vm20?v2???1?v2??dv
m??
?122mvm4mvmln?0.144则 x?2F3F
*2 -20 在卡车车厢底板上放一木箱,该木箱距车箱前沿挡板的距离L ＝2.0 m,已知制动时卡车的加速度a
27
＝7.0 m·ｓ ,设制动一开始木箱就开始滑动．求该木箱撞上挡板时相对卡车的速率为多大？设木箱与底板间滑动摩擦因数μ＝0.50．
分析 如同习题2 -5 分析中指出的那样,可对木箱加上惯性力F0 后,以车厢为参考系进行求解,如图所示,此时木箱在水平方向受到惯性力和摩擦力作用,图中a′为木箱相对车厢的加速度． 解 由牛顿第二定律和相关运动学规律有
-2
F0 -Ff＝ma -μmg＝ma′ (1) v′ 2 ＝2a′L (2)
联立解(1)(2)两式并代入题给数据,得木箱撞上车厢挡板时的速度为
v??2?a??g?L=?2.9m?s?1
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
3 -1 对质点组有以下几种说法： (1) 质点组总动量的改变与内力无关； (2) 质点组总动能的改变与内力无关； (3) 质点组机械能的改变与保守内力无关． 下列对上述说法判断正确的是( )
(A) 只有(1)是正确的 (B) (1)、(2)是正确的 (C) (1)、(3)是正确的 (D) (2)、(3)是正确的
分析与解 在质点组中内力总是成对出现的,它们是作用力与反作用力．由于一对内力的冲量恒为零,故内力不会改变质点组的总动量．但由于相互有作用力的两个质点的位移大小以及位移与力的夹角一般不同,故一对内力所作功之和不一定为零,应作具体分析,如一对弹性内力的功的代数和一般为零,一对摩擦内力的功代数和一般不为零,对于保守内力来说,所作功能使质点组动能与势能相互转换,因此保守内力即使有可能改变质点组的动能,但也不可能改变质点组的机械能．综上所述(1)(3)说法是正确的．故选(C)． 3 -2 有两个倾角不同、高度相同、质量一样的斜面放在光滑的水平面上,斜面是光滑的,有两个一样的物块分别从这两个斜面的顶点由静止开始滑下,则( ) (A) 物块到达斜面底端时的动量相等 (B) 物块到达斜面底端时动能相等
(C) 物块和斜面(以及地球)组成的系统,机械能不守恒 (D) 物块和斜面组成的系统水平方向上动量守恒
分析与解 对题述系统来说,由题意知并无外力和非保守内力作功,故系统机械能守恒．物体在下滑过程中,一方面通过重力作功将势能转化为动能,另一方面通过物体与斜面之间的弹性内力作功将一部分能量转化为斜面的动能,其大小取决其中一个内力所作功．由于斜面倾角不同,故物体沿不同倾角斜面滑至底端时动能大小不等．动量自然也就不等(动量方向也不同)．故(A)(B)(C)三种说法均不正确．至于说法(D)正确,
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