也可建立如图（a）所示的坐标系，用动量定量的分量式求解，对打击、碰撞一类作用时间很短的过程来说，物体的重力一般可略去不计.
题 3-11 图
解 （1） 解 1 由分析知，有
F?t?mv2?mv1
其矢量关系如图（b）所示，则
(F?t)2?(mv1)2?(mv2)2?2(mv1)(mv2)cos(180??60?)
解之得 F解 2 由图（a）有
?197.9N
Fx?t?mv2x?mv1x Fy?t?mv2y?0
将v1x?v,v2x??v2cos60?及v2y?v2sin60?代入解得Fx和Fy，则
F?F?F?197.9N
(2) 由质点动能定理，得
2x2y1212W?mv2?mv1?47.7J
223 -12 如图所示,在水平地面上,有一横截面S ＝0.20 m 的直角弯管,管中有流速为v ＝3.0 m·ｓ 的水通过,求弯管所受力的大小和方向．
2
-1
33
题 3-12 图
分析 对于弯曲部分AB 段内的水而言,由于流速一定,在时间Δt 内,从其一端流入的水量等于从另一端流出的水量．因此,对这部分水来说,在时间Δt 内动量的增量也就是流入与流出水的动量的增量Δp＝Δm(vB -vA )；此动量的变化是管壁在Δt时间内对其作用冲量I 的结果．依据动量定理可求得该段水受到管壁的冲力F；由牛顿第三定律,自然就得到水流对管壁的作用力F′＝-F．
解 在Δt 时间内,从管一端流入(或流出) 水的质量为Δm ＝ρυSΔt,弯曲部分AB 的水的动量的增量则为
Δp＝Δm(vB -vA ) ＝ρυSΔt (vB -vA )
依据动量定理I ＝Δp,得到管壁对这部分水的平均冲力
F?从而可得水流对管壁作用力的大小为
I?ρSvΔt?vB?vA? ΔtF???F??2ρSv2??2.5?103N
作用力的方向则沿直角平分线指向弯管外侧．
3 -13 A、B 两船在平静的湖面上平行逆向航行,当两船擦肩相遇时,两船各自向对方平稳地传递50 kg 的重物,结果是A 船停了下来,而B 船以3.4 m·s的速度继续向前驶去．A、B 两船原有质量分别为0.5×10 kg 和1.0 ×10 kg,求在传递重物前两船的速度．(忽略水对船的阻力)
分析 由于两船横向传递的速度可略去不计,则对搬出重物后的船A与从船B搬入的重物所组成的系统Ⅰ来讲,在水平方向上无外力作用,因此,它们相互作用的过程中应满足动量守恒；同样,对搬出重物后的船B与从船A搬入的重物所组成的系统Ⅱ亦是这样．由此,分别列出系统Ⅰ、Ⅱ的动量守恒方程即可解出结果． 解 设A、B两船原有的速度分别以vA 、vB 表示,传递重物后船的速度分别以vA′ 、vB′ 表示,被搬运重物的质量以m 表示．分别对上述系统Ⅰ、Ⅱ应用动量守恒定律,则有
3
-1
3
?mB?m?vB?mvA?mBv?B? (2)
由题意知vA′ ＝0, vB′ ＝3.4 m·s 代入数据后,可解得
-1
?mA?m?vA?mvB?mAv?A (1)
vA??mBmv?B??0.40m?s?1 2?mB?m??mA?m??mvB??mA?m?mBv?B?mA?m??mB?m??m234
?3.6m?s?1
也可以选择不同的系统,例如,把A、B两船(包括传递的物体在内)视为系统,同样能满足动量守恒,也可列出相对应的方程求解．
3 -14 质量为m′ 的人手里拿着一个质量为m 的物体,此人用与水平面成α角的速率v0 向前跳去．当他达到最高点时,他将物体以相对于人为u 的水平速率向后抛出．问：由于人抛出物体,他跳跃的距离增加了多少？ (假设人可视为质点)
分析 人跳跃距离的增加是由于他在最高点处向后抛出物体所致．在抛物的过程中,人与物之间相互作用力的冲量,使他们各自的动量发生了变化．如果把人与物视为一系统,因水平方向不受外力作用,故外力的冲量为零,系统在该方向上动量守恒．但在应用动量守恒定律时,必须注意系统是相对地面(惯性系)而言的,因此,在处理人与物的速度时,要根据相对运动的关系来确定．至于,人因跳跃而增加的距离,可根据人在水平方向速率的增量Δv 来计算．
解 取如图所示坐标．把人与物视为一系统,当人跳跃到最高点处,在向左抛物的过程中,满足动量守恒,故有
?m?m??v0cosα?m?v?m?v?u?
式中v 为人抛物后相对地面的水平速率, v -u 为抛出物对地面的水平速率．得
v0?v0cosα?人的水平速率的增量为
mu
m?m?mu ?m?mΔv?v?v0cosα?而人从最高点到地面的运动时间为
t?所以,人跳跃后增加的距离
v0sinα gΔx?Δvt?3
mv0sinα
?m?m??g3 -15 一物体在介质中按规律x ＝ct 作直线运动,c 为一常量．设介质对物体的阻力正比于速度的平方．试求物体由x0 ＝0 运动到x ＝l 时,阻力所作的功．(已知阻力系数为k) 分析 本题是一维变力作功问题,仍需按功的定义式W??F?dx来求解．关键在于寻找力函数F ＝
F(x)．根据运动学关系,可将已知力与速度的函数关系F(v) ＝kv2 变换到F(t),进一步按x ＝ct3 的关系把
35
F(t)转换为F(x),这样,就可按功的定义式求解．
解 由运动学方程x ＝ct ,可得物体的速度
3
v?按题意及上述关系,物体所受阻力的大小为
dx?3ct2 dtF?kv2?9kc2t4?9kc2/3x4/3
则阻力的功为
?2/34/3W??F?dxW??0F?dx??cos180dx???09kcxdx??ll272/37/3kcl 73 -16 一人从10.0 m 深的井中提水,起始桶中装有10.0 kg 的水,由于水桶漏水,每升高1.00 m 要漏去0.20 kg 的水．水桶被匀速地从井中提到井口,求所作的功．
题 3-16 图
分析 由于水桶在匀速上提过程中,拉力必须始终与水桶重力相平衡．水桶重力因漏水而随提升高度而变,因此,拉力作功实为变力作功．由于拉力作功也就是克服重力的功,因此,只要能写出重力随高度变化的关系,拉力作功即可求出．
解 水桶在匀速上提过程中,a ＝0,拉力与水桶重力平衡,有
F ＋P ＝0
在图示所取坐标下,水桶重力随位置的变化关系为
P ＝mg -αgy
其中α＝0.2 kg/m,人对水桶的拉力的功为
W??0F?dy??0?mg?agy?dy?882J
3 -17 一质量为0.20 kg 的球,系在长为2.00 m 的细绳上,细绳的另一端系在天花板上．把小球移至使细绳与竖直方向成30°角的位置,然后从静止放开．求：(1) 在绳索从30°角到0°角的过程中,重力和张力所作的功；(2) 物体在最低位置时的动能和速率；(3) 在最低位置时的张力．
1010 36