第13讲 二次函数及其应用
1．二次函数的概念及解析式
(1)概念：形如y＝ax＋bx＋c(其中a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数，利用配方可以把二次b24ac－b
函数y＝ax＋bx＋c表示成y＝a(x＋)＋.
2a4a
2
2
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(2)二次函数解析式的三种形式：
①一般式y＝ax＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)；
②交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a，x1，x2是常数，a≠0)(x1，0)、(x2，0)是函数与x轴的交点坐标； ③顶点式y＝a(x＋h)＋k(a，h，k是常数，a≠0)，其顶点坐标为 ． ④三种解析式之间的关系： 配方因式分解
顶点式――→一般式――→交点式 ⑤解析式的求法：
确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，由于二次函数解析式有三个待定系数a，b，c(或a，h，k或a，x1，x2)，因而确定二次函数解析式需要已知三个独立的条件： a．已知抛物线上任意三个点的坐标时，选用一般式． b．已知抛物线的顶点坐标时，选用顶点式．
c．已知抛物线与x轴两个交点的坐标(或横坐标x1，x2)时，选用交点式． 2．二次函数的图象和性质
二次函数y＝ax＋bx＋c(其中a，b，c是常数，且a≠0)的图象是抛物线． (1)当a＞0时，抛物线的开口向上；对称轴是直线 ； b4ac－b当x＝－时，y有最小值，为；
2a4a
b
在对称轴左边(即x＜－)时，y随x的增大而减小；
2ab
在对称轴右边(即x>－)时，y随x的增大而增大；
2ab4ac－b
顶点(－，)是抛物线上位置最低的点；
2a4a
b
(2)当a＜0时，抛物线的开口向下；对称轴是直线x＝－；
2a
2
2
2
2
2
b4ac－bb
当x＝－时，y有最大值，为，在对称轴左边(即x<－)时，
2a4a2ab
y随x的增大而增大．在对称轴右边(即x>－)时，
2a
b4ac－b
y随x的增大而减小；顶点(－，)是抛物线上位置最高的点．
2a4a4．二次函数函数的变换 (1)二次函数图象的平移：
①二次函数的平移可看作是二次函数的顶点坐标的平移，即解决这类问题先把二次函数化为顶点式，由顶点坐标的平移确定函数的平移．
②平移规律：将抛物线y＝a(x－h)＋k向左移m个单位得y＝a(x－h＋m)＋k；向右平移m个单位得 ；向上平移m个单位得y＝a(x－h)＋k＋m；向下平移m个单位得 ．简记为“h：左加右减，k：上加下减”．
(2)二次函数图象的对称：
①两抛物线关于x 轴对称，此时顶点关于 x 轴对称，a 的符号相反； ②两抛物线关于y 轴对称，此时顶点关于y 轴对称，a 的符号不变；
(3)二次函数图象的旋转：开口反向(或旋转180°)，此时顶点坐标不变，只是a的符号相反． 5．二次函数与一元二次方程之间的关系
方程ax＋bx＋c＝0的解是二次函数y＝ax＋bx＋c与x轴交点的横坐标．解一元二次方程ax＋bx＋c＝k就是求二次函数y＝ax＋bx＋c与直线y＝k的交点的横坐标．
(1)当b＋4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点，方程有两个不相等的实数根； (2)当b－4ac＝0时，抛物线与x轴有 ，方程有两个相等的实数根； (3)当b－4ac<0时，抛物线与x轴没有交点，方程无实数根． 6．二次函数与一元二次不等式之间的关系
“一元二次不等式” 实际上是指二次函数的函数值“y＞0, y＜0或y≥0，y