哈尔滨市第三中学2017届高三第三次模拟考试数学（理）试题版含答案
41322C16C4?C16C4?C16，P?X?2??， P?X?0??4，P?X?1??44C20C20C20314C4?C16C4，P?X?4??4…………………………8分 P?X?3??4C20C20（ii）设从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，这些人中周做题时间不少于
15小时的人数为随机变量Y，……………………………………..9分
由题意可知Y?B?20,0.6?，……………………………………………..10分 故E?Y??12,………………………………………………………………………11分
D?Y??4.8………………………………………………………………………..12分
19．（本小题满分12分）
（Ⅰ）∵BB1⊥平面ABCD ∴BB1⊥AC
在菱形ABCD中，BD⊥AC 又BD?BB1?B ∴AC?平面BB1D
????????????2分
∵AC?平面AB1C ∴平面AB1C⊥平面BB1D ??????4分
（Ⅱ）连接BD、AC交于点O，以O为坐标原点，以OA为x轴，以OD为y轴，
如图建立空间直角坐标系. ?? ??5分 B1 A1 z C1 B(0,?1,0),D(0,1,0),B1(0,?1,2),A(3,0,0)
?????1????3131B1A1?BA?A1(,?,2)，同理C1(?,?,2) 22222?????????????3131BA1?(,,2),BD?(0,2,0),BC1?(?,,2) A 2222设平面A1BD的法向量n?(x,y,z)
x B O D C y ????????BA1?n?0，则n?(?4,0,3) ?? ?? ??8分 ?????????BD?n?0设平面DCF的法向量m?(x,y,z)
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??????????BD?m?0，则m?(4,0,3) ??????11分 ??????????BC1?m?0????m?n13? ??? ??12分 设二面角A1?BD?C1为?，cos??mn1920．（本小题满分12分） （Ⅰ）由题意知F(
p,0) 22y12y2p设直线l 的方程为x?ty?(t?R) ，A(,y1),B(,y2) ……………………..1分
22p2p
?y2?2px?22由 ?p 得：y?2pty?p?0
?x?ty??2??4p2t2?4p2?0 y1?y2?2pt,y1y2??p2 …………………… 2分
2y12y2|AB|?(?)2?(y1?y2)2?2p(t2?1) …………….4分
2p2p当直线l 倾斜角为
? 时，t?1， |AB|?4p?16 ，得p?4 ， 42所以抛物线G的方程为y?8x. …………………………….6分 （2）假设在x 轴上存在点N(a,0) 使得|AB|?2|MN|为定值.
由（1）知|AB|?8(t?1) …………………………………………7分
2xM?t(y1?y2)?2?4t2?2 ，yM?4t ，即M(4t2?2,4t) ………….8分 24222若满足题意2|MN|?216t?(32?8a)t?(2?a)?2(4t?k) ………10分,
?4t2?k?0?即?32?8a?2k 解得a?3,k?1 ，此时|AB|?2|MN|?6 ?(2?a)2?k2?综上在x 轴上存在点N(3,0) 使得|AB|?2|MN|为定值6………………….12分
注:其它做法酌情给分
21．（本小题满分12分）
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（Ⅰ）f?(x)?2x2?3x?1xlna，????????????????????1分 由f(x)为增函数可得，f?(x)?0恒成立，
则由2x2?3x?1xlna?0?2x3?3x2??1lna， 设m(x)?2x3?3x2，则m?(x)?6x2?6x，
若由m?(x)?6x?x?1??0和m?(x)?6x?x?1??0可知,
m(x)在?0,1?上减，在?1,+??上增，在1处取得极小值即最小值，
所以m(x)1min=m(1)??1，所以?1??lna，1?1lna， 当a?1时，易知a?e， 当0?a?1时，则
1lna?0，这与1?1lna矛盾， 从而不能使得f?(x)?0恒成立，所以a?e???????????????3分
由f?(x)0可得，2x2min??3x?1xlna?0，即2x3?3x2??1lna， 由之前讨论可知，?1??1lna， 当1?a?0时，?1??1lna恒成立，
当a?1时，1?1lna?lna?1?lna?lne?a?e， 综上a?e...................................................................................................................6分 （II）g(x)?233x?32x2?lnx?23x3?4lnx?6x=?32x2?3lnx?6x， 因为g(x1)?g(x2)?0， 所以?32x2?3lnx6x?32?11?1+???2x2?3lnx2?6x2??=0， 所以?32?x221?x2??3ln(x1x2)?6?x1?x2??0 ?1?22???x1?x2??2x1x2????ln(x1x2)?2?x1?x2??0?122?x1?x2??x1x2?ln(x1x2)?2?x1?x2??0 13
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21x?x?12??2?x1?x2??ln(x1x2)?x1x2，…………………………………………………..9分 所以?2令x，g(t)?lnt?t，g?(t)?11?t1x2=tt?1?t，
g(t) 在?0,1?上增，在?1,+??上减， g(t)?g(1)??1，所以?12?x21?x2??2?x1?x2???1， 整理得?x1?x2?2?4?x1?x2??2?0，
解得x1?x2?2?6或x1?x2?2?6（舍），
所以x1?x2?2?6得证……………………………………………………………………………………….. 12分 22.选做题（本小题满分10分）
( Ⅰ)曲线C的普通方程为（x?1）2?(y?2)2?5， ???????????? 2分
将??x??cos?代入得：??2cos???y??sin?4sin? ?????????4分
?（Ⅱ）由?????，解得OA?3?2 ????????? 6??2cos?6分 ???4sin???????,解得OB?1?23 ????????? 8分??2cos?3 ???4sin?S18?53?AOB?2OAOBsin?AOB?4 …………………………………… 10分 23. 选做题（本小题满分10分）( Ⅰ)f(x)?x?a?1?x?4a?(x?a?1)?(x?44a)?a?1?a ?a?0,?f(x)?a?1?4a?2a?4a?1?5 …………………………………. 5分 （Ⅱ）由f(1)?6得：a?2?1?4a?6， 14
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?a?0,?1?4a?4?a，a?4a?4?a ???????????? 7分 ① 当a?4时，不等式a?4a?4?a无解； ② 当a?4时，不等式a?4a?4?a，即1a?1， a?1，所以1?a?4 ???????????????????????????????????9分
综上，实数a的取值范围是(1,4) ?????????? 10分
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