第一章 复数
1 i2=-1 i??1 欧拉公式 z=x+iy
实部Re z 虚部 Im z
2运算 ① z1?z2?Rez1?Rez2 Imz1?Imz2
②?z1?z2??Re?z1?z2??Im?z1?z2???Rez1?Rez2???Imz1?Imz2?
z1?z2③
??x1?iy1??x2?iy2??x1x2?ix1y2?ix2y1?y1y2??x1x2?y1y2??i?x1y2?x2y1?
④
z1z1z2?x1?iy1??x2?iy2?x1x2?y1y2y1x2?x1y2 ????i2222z2z2z2?x2?iy2??x2?iy2?x2?y2x2?y2⑤z?x?iy 共轭复数
z?z??x?iy??x?iy??x2?y2 共轭技巧
运算律 P1页
3代数，几何表示
z?x?iy z与平面点?x,y?一一对应，与向量一一对应
辐角 当z≠0时，向量z和x轴正向之间的夹角θ，记作θ=Arg z=?0?2k? k=±1±2±3…
把位于-π＜?0≤π的?0叫做Arg z辐角主值 记作?0=argz0
4如何寻找arg z
例：z=1-i ?z=i
?4
? 2?z=1+i
4z=-1 π
5 极坐标： x?rcos?， y?rsin? z?x?iy?r?cos??isin??
i?利用欧拉公式 e?cos??isin?
可得到 z?re
i?z1?z2?r1ei?1?r2ei?2?r1r2ei?1?ei?2?r1r2ei??1??2?
6 高次幂及n次方
zn?z?z?z??????z?rnein??rn?cosn??isinn??
凡是满足方程??z的ω值称为z的n次方根，记作
n??nz
z?rei???2k????n 即r??n
??2k??n? ????r ??2k?n
1n第二章解析函数
1极限 2函数极限
① 复变函数
对于任一Z?D都有W?? 与其对应??f?z? 注：与实际情况相比，定义域，值域变化 例 f?z??z
②limf?z??? z?z0 称f?z?当z?z0时以A为极限
z?z0☆ 当??f?z0?时，连续 例1
证明f?z??z在每一点都连续
证：f?z??f?z0??z?z0?z?z0?0 z?z0 所以f?z??z在每一点都连续
3导数
f??z0??limz?z0f?z??f?z0?df?z? ?z?z0zz?z0'例2 f?z??C 时有 ?C??0
证：对?z有lim?z?0f?z??z??f?z?C?C?lim?0 所以?C?'?0 ?z?0?z?z例3证明f?z??z不可导 解：令??z?z0
f?z??f?z0?z?z0z?z0?x?iy ????z?z0z?z0z?z0?x?iy当??0时，不存在，所以不可导。
定理：f?z??u?x,y??iv?x,y?在z?x?iy处可导?u，v在?x,y?处可微，且满足C-R
条件
?u?v?u?v?u?v?i ??? 且f??z??
?x?x?x?y?y?x例4证明f?z??z不可导
解：f?z??z?x?iy 其中u?x,y??x v?x,y???y u,v 关于x,y可微
?u?v?1???1 不满足C-R条件 所以在每一点都不可导 ?x?y例5 f?z??Rez
解：f?z??Rez?x u?x,y??x v?x,y??0
?u?v?1??0 不满足C-R条件 所以在每一点都不可导 ?x?y例6： f?z??z
2解：f?z??z2?x2?y2 其中u?x,y??x2?y2 v?x,y??0
根据C-R条件可得2x?0,2y?0?x?0,y?0 所以该函数在z?0处可导
4解析
若f?z?在z0的一个邻域内都可导，此时称f?z?在z0处解析。 用C-R条件必须明确u,v
四则运算?f?g??f??g? ?f?g?z????f??g??g??z? ?kf?????kf? ?zn???nzn?1
?z ?f?g??f??g?f?g? ☆e????ez
???f?f??g?f?g?? ?2?g?g?例：证明f?z??ez e????ezz
解： f?z??ez?excosy?iexsiny 则u?x,y??excosy v?x,y??exsiny
?u?v?excosy??excosy ?x?y?u?v??exsiny????exsiny 任一点z?x?iy处满足C-R条件 ?y?xz所以e处处解析 f??z???u?v?i?excosy?iexsiny?ez ?x?x练习：求下列函数的导数
f?z??z?z
22232233223解: f?z??z?z?x?y?x?iy??x?ixy?xy?iy?x?xy?ixy?y
2????u?x,y??x3?xy2 v?x,y??x2y?y3 所以
?u?2xy ?y?u?v?3x2?y2 ?x2?3y2 ?x?yC-R
方程可得
??v??2xy 根据?x?u?v?3x2?y2??x2?3y2 ?x?y?u?v?2xy????2xy ?x?0,y?0 ?y?x所以当z?0时f?z?存在导数且导数为0，其它点不存在导数。
初等函数
Ⅰ常数
Ⅱ指数函数 ez?ex?cosy?isiny?
① 定义域 ② e1?ezz2??ez1?z2 ③ ez?2?i?ez?cos2??isin2???ez④?ez??ez
Ⅲ对数函数 称满足z?e?的?叫做z的对数函数，记作??lnz
分类：类比nz的求法（经验） 目标：寻找? ??arg?幅角主值
?i?可用：z?e z?re ??u?iv
i??u?iv?eu?eiv?rei? ?r?eu,ei??eiv 过程：z?re?e?e?u?lnr,v???2k? k?0,?1,?2??????
所
以
??u?iv?lnr?i???2k???lnr?i?rgz?lnz?i?argz?2k??
k?0,?1,?2??????
例：求Ln??1? Ln?1?i? Ln?i? 的值
arg??1???
Ln??1??ln?1?i?arg??1??2k???i??2k?1? k?0,?1,?2??????
arg?1?i???4
Ln?1?i??ln1?i?i?arg?1?i??2k???arg?i??1???ln2?i??2k?? k?0,?1,?2?????? 2?4??2
???Ln?i??lni?i?argi?2k???1?i??2k?? k?0,?1,?2??????
?2?Ⅳ幂函数 对于任意复数?，当z?0时
??z??e?Lnz
例1：求i解
1?i的值
：
i1?i?elni1?i?e?1?i?L?e?lni?i?1?i?n?i??i?e????1?i?i??2k??Ar?2??e???i?1????2k??g?2?
k?0,?1,?2??????
例2：求?1?i?3?i?eln?1?i?3?i?e?3?i?ln?1?i??e1????3?i???ln2?i???2k???????2?4??
Ⅴ三角函数