限时规范训练十七 圆锥曲线的综合问题
限时45分钟，实际用时
分值80分，实际得分
解答题(本题共5小题，每小题12分，共60分)
1．(2017·高考全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y＝1上，过M作x轴的
2→→
垂线，垂足为N，点P满足NP＝2NM.
(1)求点P的轨迹方程；
→→
(2)设点Q在直线x＝－3上，且OP·PQ＝1，证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
解：(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，
→→
则N(x0,0)，NP＝(x－x0，y)，NM＝(0，y0)． 2→→
由NP＝2NM得x0＝x，y0＝y.
2因为M(x0，y0)在C上，所以＋＝1.
22因此点P的轨迹方程为x＋y＝2.
(2)由题意知F(－1,0)．设Q＝(－3，t)，P(m，n)，
→→→→→→
则OQ＝(－3，t)，PF＝(－1－m，－n)，OQ·PF＝3＋3m－tn，OP＝(m，n)，PQ＝(－3－m，t－n)．
→→22
由OP·PQ＝1得－3m－m＋tn－n＝1， 又由(1)知m＋n＝2，故3＋3m－tn＝0. →→→→所以OQ·PF＝0，即OQ⊥PF.
又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
2
2
2
2
x2
2
x2y2
x2y2
2．(2017·黑龙江哈尔滨模拟)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的焦点分别为F1(－3，0)，
abF2(3，0)，点P在椭圆C上，满足|PF1|＝7|PF2|，tan∠F1PF2＝43.
(1)求椭圆C的方程．
(2)已知点A(1,0)，试探究是否存在直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于D，E两点，且使得|AD|＝|AE|？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
7aa12
解：(1)由|PF1|＝7|PF2|，PF1＋PF2＝2a得PF1＝，PF2＝，由cos∠F1PF2＝＝2
441＋tan∠F1PF2
11＋1＝，又由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝2
4973
?7a?＋?a?－23
????1?4??4?
7aa2××44
22
2
，所以a＝2，
故所求C的方程为＋y＝1.
4
(2)假设存在直线l满足题设，设D(x1，y1)，E(x2，y2)，将y＝kx＋m代入＋y＝1并整理
4得(1＋4k)x＋8kmx＋4m－4＝0，由Δ＝64km－4(1＋4k)(4m－4)＝－16(m－4k－1)＞0，得4k＋1＞m①，又x1＋x2＝－
2
2
22
2
2
22
2
2
2
2
x2
2
x2
2
8km?4km2，m2?，k·k＝－1，
?AM2设D，E中点为M(x0，y0)，M?－
1＋4k?1＋4k1＋4k?
22
1＋4k?1＋4k?，化简得20k4＋k2－1＞0?(4k2＋1)(5k2－1)2
得m＝－②，将②代入①得4k＋1＞??3k?3k?＞0，解得k＞
55
或k＜－，所以存在直线l，使得|AD|＝|AE|，此时k的取值范围为55
5??5??
?－∞，－?∪?，＋∞?.
5??5??
y2x2
3．(2017·广州五校联考)已知双曲线M：2－2＝1(a＞0，b＞0)的上焦点为F，上顶点为A，
abB为虚轴的端点，离心率e＝
233
，且S△ABF＝1－.抛物线N的顶点在坐标原点，焦点为F. 32
(1)求双曲线M和抛物线N的方程．
(2)设动直线l与抛物线N相切于点P，与抛物线的准线相交于点Q，则以PQ为直径的圆是否恒过y轴上的一个定点？如果经过，试求出该点的坐标，如要不经过，试说明理由．
23a＋b23
解：(1)在双曲线M中，c＝a＋b，由e＝，得＝，
3a3
222
2
解得a＝3b，故c＝2b.
113
所以S△ABF＝(c－a)×b＝(2b－3b)×b＝1－，
222解得b＝1. 所以a＝3，c＝2.
所以双曲线M的方程为－x＝1，其上焦点为F(0,2)，
3所以抛物线N的方程为x＝8y.
121
(2)由(1)知y＝x，故y′＝x，抛物线的准线方程为y＝－2.设P(x0，y0)，则x0≠0，且直
84线l的方程为
2
y2
2
y－y0＝x0(x－x0)，
112
即y＝x0x－x0.
4811??y＝x0x－x20，
8由?4
??y＝－2，
2
1
4
x0－16??x＝，2x0
得???y＝－2，
2
?x0－16，－2?.
所以Q??
?2x0?
→→
假设存在点R(0，y1)，使得以PQ为直径的圆恒过该点，也就是RP·RQ＝0对任意的x0，y0
恒成立．
→→?x0－16
，－2－y1?又RP＝(x0，y0－y1)，RQ＝??，
?2x0?→→
由RP·RQ＝0，
2
x20－16
得x0×＋(y0－y1)(－2－y1)＝0，
2x0
整理得
2
x20－16
2
－2y0－y0y1＋2y1＋y1＝0，
2
即(y1＋2y1－8)＋(2－y1)y0＝0.(☆)
??2－y1＝0，12
由于(☆)式对满足y0＝x0(x0≠0)的任意x0，y0恒成立，所以?2
8??y1＋2y1－8＝0，
解得y1＝2.
故存在y轴上的定点R(0,2)，使得以PQ为直径的圆恒过该点．
x2y22
4．已知椭圆C1：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，F2的坐标满足圆Q方程(x－2)
ab＋(y－1)＝1，且圆心Q满足|QF1|＋|QF2|＝2a.
2
(1)求椭圆C1的方程．
(2)过点P(0,1)的直线l1交椭圆C1于A，B两点，过P与l1垂直的直线l2交圆Q于C，D两点，
M为线段CD中点，求△MAB面积的取值范围．
解：(1)方程(x－2)＋(y－1)＝1为圆，此圆与x轴相切，切点为F2(2，0)，所以c＝2，即a－b＝2，且F2(2，0)，F1(－2，0)，|QF1|＝|F1F2|＋|QF2|＝
又|QF1|＋|QF2|＝3＋1＝2a.
2
2
2
2
2
2
2
2
＋1＝3，
2