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∴如果轮船继续向正北方向航行，有触礁危险．
为了安全，应改变航行方向，并且保证M点到航线的距离不小于设安全航行方向为AQ，过点M作ME⊥AQ于点E． 由题意知：AM=60，ME=， ∴sin∠MAE=
，
海里．
∴∠MAE=45°，
∴∠NAQ=∠MAE﹣∠MAN=45°﹣30°=15°．
答：轮船自A处开始至少沿东偏南15°方向航行，才能安全通过这一海域．
20．如图，在△ABC中，AC=BC，∠CAB=30°，过点C作CD⊥AC交AB于点D，⊙O是△ACD的外接圆．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）CE平分∠ACD交⊙O于点E，若CD=1，求AE的长．
【考点】切线的判定；三角形的外接圆与外心． 【分析】（1）连接OC，根据CD⊥AC得出AD是⊙O的直径再由等腰三角形的性质得出∠OAC=∠OCA=30°，故∠COB=60°．根据三角形内角和定理得出∠OCB=90°，由此可得出结论； （2）连接DE，由角平分线的性质得出∠ACE=∠DCE，故可得出=，AE=DE，再由勾股定理即可得出结论． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵CD⊥AC，
∴AD是⊙O的直径． ∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°， ∴∠COB=60°．
∵AC=BC，∠CAB=30°， ∴∠B=30°， ∴∠OCB=90°，
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∴BC是⊙O的切线；
（2）解：连接DE， 在Rt△ACD中，
∵∠CAD=30°，CD=1， ∴AD=2CD=2，
∵CE平分∠ACD交⊙O于点E， ∴∠ACE=∠DCE， ∴=， ∴AE=DE．
设AE=x，由勾股定理得，x+x=2，解得x=
2
2
2
，即AE=．
六、（本题满分12分）
21．为备战体育中考，李明同学就自己平时1分钟跳绳的训练成绩，做了认真统计，并将训练成绩绘出了如下的频数分布表和频数分布直方图（不完整）．（规定：1分钟跳绳120个以下成绩为D等；120﹣140个为C等；140﹣160个为B等；160个以上为A等） 根据以上信息，解答下列问题：
（1）李明同学一共记录了 50 次平时测试的成绩； （2）补全频数分布表和频数分布直方图；
（3）李明同学从篮球运球、足球运球、掷实心球、坐位体前屈、1分钟跳绳、立定跳远等六个项目中任选两项作为自己的考试项目，求恰好含有1分钟跳绳项目的概率． 一分钟跳绳成绩分布表 成绩等次 频数（人） 频率 D 5 0.1 C 10 0.2 B 25 0.5 A 10 0.2 合计 50 1.00
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【考点】列表法与树状图法；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图． 【分析】（1）根据D等次的频数和频率即可求出一共记录的总次数；
（2）根据频数、频率与总数之间的关系分别求出C的频率和A、B等次的人数，从而补全频数分布表和频数分布直方图；
（3）根据题意先画出树状图，表示出所有的情况数，再根据概率公式即可得出答案． 【解答】解：（1）根据题意得：
=50（次），
答：李明同学一共记录了50次平时测试的成绩； 故答案为：50；
（2）C的频率是
=0.2，
B的频数是：50×0.5=25（人）； A的频数是：50×0.2=10（人）； 补图如下： 成绩等次 频数（人） 频率 D 5 0.1 C 10 0.2 B 25 0.5 A 10 0.2 合计 50 1.00
（3）用树状图分析：（①表示篮球运球、②表示足球运球、③表示掷实心球、④表示坐位体前屈、⑤表示1分钟跳绳、⑥表示立定跳远），根据题意画图如下：
一共有30种不同的情况，恰好含有1分钟跳绳的有10种，则P（恰好含有1分钟跳绳）==．
七、（本题满分12分）
22．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D是AB的中点，点E在DC的延长线上，且CE=CD，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F，交AC的延长线于点G． （1）求证：AB=BG；
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（2）若点P是直线BG上的一点，试确定点P的位置，使△BCP与△BCD相似．
【考点】相似三角形的判定；直角三角形斜边上的中线． 【分析】（1）利用平行分线段成比例定理得出
=
=
，进而得出△ABC≌△GBC（SAS），
即可得出答案；
（2）分别利用第一种情况：若∠CDB=∠CPB，第二种情况：若∠PCB=∠CDB，进而求出相似三角形即可得出答案． 【解答】（1）证明：∵BF∥DE， ∴
=
=
，
∵AD=BD，
∴AC=CG，AE=EF， 在△ABC和△GBC中：
，
∴△ABC≌△GBC（SAS）， ∴AB=BG；
（2）解：当BP长为或
时，△BCP与△BCD相似；
∵AC=3，BC=4， ∴AB=5， ∴CD=2.5，
∴∠DCB=∠DBC， ∵DE∥BF，
∴∠DCB=∠CBP， ∴∠DBC=∠CBP，
第一种情况：若∠CDB=∠CPB，如图1：