2019年
【2019最新】精选高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9-9圆锥曲线
的综合问题第3课时定点定值探索性问题试题理北师大
题型一 定点问题
例1 (2016·长沙模拟)已知椭圆＋＝1(a>0，b>0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足＝λ1，＝λ2. (1)求椭圆的标准方程；
(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l过定点并求此定点． (1)解 设椭圆的焦距为2c，
由题意知b＝1，且(2a)2＋(2b)2＝2(2c)2， 又a2＝b2＋c2，∴a2＝3. ∴椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)证明 由题意设P(0，m)，Q(x0,0)，M(x1，y1)，
N(x2，y2)，设l方程为x＝t(y－m)，
由＝λ1知(x1，y1－m)＝λ1(x0－x1，－y1)， ∴y1－m＝－y1λ1，由题意y1≠0，∴λ1＝－1. 同理由＝λ2知λ2＝－1.
∵λ1＋λ2＝－3，∴y1y2＋m(y1＋y2)＝0，① 联立得(t2＋3)y2－2mt2y＋t2m2－3＝0，
∴由题意知Δ＝4m2t4－4(t2＋3)(t2m2－3)>0，② 且有y1＋y2＝，y1y2＝，③
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③代入①得t2m2－3＋2m2t2＝0， ∴(mt)2＝1，
由题意mt<0，∴mt＝－1，满足②，
得直线l方程为x＝ty＋1，过定点(1,0)，即Q为定点． 思维升华 圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．
(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．
(2016·河北衡水中学调研)如图，已知椭圆C
的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝，F是右焦点，A是右顶点，B是椭圆上一点，BF⊥x轴，|BF|＝. (1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l：x＝ty＋λ是椭圆C的一条切线，点M(－，y1)，点N(，y2)是切线l上两个点，证明：当t，λ变化时，以MN为直径的圆过x轴上的定点，并求出定点坐标．
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解 (1)由题意设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，① 焦点F(c,0)，因为＝，②
将点B(c，)的坐标代入方程①得＋＝1.③ 由②③结合a2＝b2＋c2，得a＝，b＝1. 故所求椭圆方程为＋y2＝1.
(2)由得(2＋t2)y2＋2tλy＋λ2－2＝0.
因为l为切线，所以Δ＝(2tλ)2－4(t2＋2)(λ2－2)＝0， 即t2－λ2＋2＝0.④
设圆与x轴的交点为T(x0,0)， 则＝(－－x0，y1)，＝(－x0，y2)． 因为MN为圆的直径， 故·＝x－2＋y1y2＝0.⑤
当t＝0时，不符合题意，故t≠0. 因为y1＝，y2＝，
所以y1y2＝，代入⑤结合④得
x20－2→
TM·＝
t2＋λ2－2
t2
＝，
要使上式为零，当且仅当x＝1，解得x0＝±1.
所以T为定点，故动圆过x轴上的定点(－1,0)与(1,0)， 即椭圆的两个焦点． 题型二 定值问题
例2 (2016·广西柳州铁路一中月考)如图，椭圆有两顶点A(－1，0)，B(1,0)，过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD