1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(三)
明目标、知重点
1．了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．
2．能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)的导数)．
1．概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成 x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))． 2．复合函数的求导法则
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′.即
y对x的导数是y对u的导数与u对x的导数的乘积．
探究点一 复合函数的定义
思考1 观察函数y＝2xcos x及y＝ln(x＋2)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？
答 y＝2xcos x是由u＝2x及v＝cos x相乘得到的；而y＝ln(x＋2)是由u＝x＋2与y＝ln u(x>－2)经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数．所以它们称为复合函数．
思考2 对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？
答 复合函数是因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程．在分析时可以从外向里出发，先根据最外层的主体函数结构找出y＝f(u)；再根据内层的主体函数结构找出函数u＝
g(x)，函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成函数y＝f(g(x))．
思考3 在复合函数中，内层函数的值域A与外层函数的定义域B有何关系？ 答 A?B.
小结 要特别注意两个函数的积与复合函数的区别，对于复合函数，要掌握引入中间变量，将其分拆成几个基本初等函数的方法． 例1 指出下列函数是怎样复合而成的： (1)y＝(3＋5x)；(2)y＝log3(x－2x＋5)； (3)y＝cos 3x.
解 (1)y＝(3＋5x)是由函数y＝u，u＝3＋5x复合而成的；
2
2
2
2
(2)y＝log3(x－2x＋5)是由函数y＝log3u，u＝x－2x＋5复合而成的； (3)y＝cos 3x是由函数y＝cos u，u＝3x复合而成的．
小结 分析函数的复合过程主要是设出中间变量u，分别找出y和u的函数关系，u和x的函数关系．
跟踪训练1 指出下列函数由哪些函数复合而成： (1)y＝ln x；(2)y＝e
sin x22
；(3)y＝cos (3x＋1)．
解 (1)y＝ln u，u＝x； (2)y＝e，u＝sin x； (3)y＝cos u，u＝3x＋1. 探究点二 复合函数的导数 思考 如何求复合函数的导数？
答 对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解——求导——回代”，即：(1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最终结果要将中间变量换成自变量．注意不要漏掉第(3)步回代的过程． 例2 求下列函数的导数： (1)y＝(2x－1)；(2)y＝
4
u； 1－2x1
π2x＋3
(3)y＝sin(－2x＋)；(4)y＝10.
3
解 (1)原函数可看作y＝u，u＝2x－1的复合函数，则yx′＝yu′·ux′＝(u)′·(2x－1)′＝4u·2＝8(2x－1). (2)y＝
11
＝(1－2x)－可看作y＝u－，u＝1－2x的复合函数，则yx′＝yu′·ux′＝(－
221－2x1
3
3
4
4
1331
)u－·(－2)＝(1－2x)－＝； 222?1－2x?1－2xπ
(3)原函数可看作y＝sin u，u＝－2x＋的复合函数，
3π
则yx′＝yu′·ux′＝cos u·(－2)＝－2cos(－2x＋)
3π
＝－2cos(2x－)．
3
(4)原函数可看作y＝10，u＝2x＋3的复合函数， 则yx′＝yu′·ux′＝10
2x＋3
u·ln 10·2＝(ln 100)10
2x＋3
.
反思与感悟 分析复合函数的结构，找准中间变量是求导的关键，要善于把一部分量、式子暂时看作一个整体，并且它们必须是一些常见的基本函数．
复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导． 跟踪训练2 求下列函数的导数． (1)y＝(2x＋3)； (2)y＝e
－0.05x＋1
3
；
(3)y＝sin(πx＋φ)．
解 (1)函数y＝(2x＋3)可以看成函数y＝u，u＝2x＋3的复合函数． ∴yx′＝yu′·ux′＝(u)′·(2x＋3)′＝2u·2＝4(2x＋3)＝8x＋12. (2)函数y＝e
－0.05x＋1
22
2
可以看成函数y＝e和函数u＝－0.05x＋1的复合函数．
uu－0.05x＋1
u∴yx′＝yu′·ux′＝(e)′·(－0.05x＋1)′＝－0.05e＝－0.05 e.
(3)函数y＝sin(πx＋φ)可以看成函数y＝sin u，u＝πx＋φ的复合函数． ∴yx′＝yu′·ux′＝(sin u)′·(πx＋φ)′＝cos u·π ＝π cos(πx＋φ)． 探究点三 导数的应用 例3 求曲线y＝e解 ∵y′＝e∴y′|
x??122x＋1
1
在点(－，1)处的切线方程．
2
2x＋1，
2x＋1
·(2x＋1)′＝2e
＝2，
2x＋1
∴曲线y＝e
1
在点(－，1)处的切线方程为
2
y－1＝2(x＋)，
即2x－y＋2＝0.
反思与感悟 求曲线切线的关键是正确求复合函数的导数，要注意“在某点处的切线”与“过某点的切线”两种不同的说法． 跟踪训练3 曲线y＝e方程．
解 设u＝sin x，则y′＝(e＝cos xe
sin xsin xsin x12
在(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为2，求直线l的
)′＝(e)′(sin x)′.
u.
y′|x＝0＝1.
则切线方程为y－1＝x－0， 即x－y＋1＝0.
若直线l与切线平行可设直线l的方程为x－y＋c＝0.